화공노트: 화학공학 살펴보기

1. 실험 목적

경사면에서의 등가속도 운동에 대해 이해한다.

2. 실험 결과

수레의 질량 = 글라이더 질량 + 센서의 질량 + 범퍼 4종 (O형 등) = 238.3g

3. 결과 분석

1) 등가속도 운동

어떤 물체가 등가속도 운동(constant acceleration motion)을 하고 있다면, 이 물체는 일정한 가속도를 갖고 있음을 의미한다. 이를 수식으로 표현할 수 있다.

$\overrightarrow{a}=const$

원래 가속도는 벡터(vector)이기에 크기와 방향을 동시에 고려해야 하나, 이번 실험에서 글라이더의 운동 방향은 1차원이기에, 실제 글라이더가 움직이는 방향으로의 성분에 대해서만 표기를 하겠다.

가속도는 속도의 변화량이며, 속도가 위치의 변화량이기에, 가속도는 위치의 이계도함수이다. 이때 등가속도 운동에서는 가속도가 일정하므로 위치(x )에 대한 간단한 이차 상미분방정식을 얻을 수 있다.

$\frac{d^2x}{dt^2}=a$

해당 미분방정식을 풀이하기 위해 2개의 초기조건(Initial Condition)이 필요하다. 일 때의 위치정보와 속도정보를 초기조건으로 사용할 수 있으며, 이를 각각 $x_0, v_0$  이라고 하면 임의의 시각 t에서의 위치를 얻을 수 있다.

$IC: x(0)=x_0, \frac{dx}{dt}(0)=v_0 $

$x(t)=\frac{1}{2}t^2+v_0t+x_0$

즉, 등가속도 운동을 하는 어떤 물체의 위치는 시간에 대한 이차함수 형태를 띠는 것을 확인할 수 있다.

2) 알짜 힘의 분석과 가속도의 이론적 수치의 추론

가속도는 물체에 가해진 알짜힘(net Force)에 의해 형성된다. 어떤 물체가 등가속도 운동을 하고 있다는 것은 외부에 가해준 힘이 일정하다고 생각할 수 있다. 그렇기에 어떤 물체의 운동의 구동력을 분석하는 것이 필수적이며, 이때 자유물체도(Free Body Diagram, 이하 FBD)를 사용한다.

힘은 벡터이기에, 각 성분에 대해 알짜 힘을 구할 수 있어야 한다. 이때의 성분은 자유물체도에서 설정한 좌표계의 정보에 따른다. 이를 이용해서 임의의 각도 θ 만큼 기울어진 빗면을 따라 등가속도 운동을 하는 물체에 대해 생각해볼 수 있다.

좌표계를 다르게 설정하더라도 물체가 갖는 물리량(property)는 동일하게 나타나야 한다. 그렇기에 글라이더의 진행 방향을 x축으로 잡고, 수직한 성분을 y축으로 잡을 수 있다. y축 방향에 대해서는 -mgcosθ 만큼 누르는 힘이 있지만 수직항력(Normal Force, FN)이 같은 크기만큼 반대로 작용하고 있기에 y 성분에 대한 알짜 힘은 0이다. x축 방향에 대해서는 힘의 평형이 존재하지 않으며, 그렇기에 알짜힘을 표현할 수 있다. 뉴턴의 제2법칙과 알짜힘을 이용해서 기울어진 빗면을 따라 등가속도 운동을 하는 물체의 가속도를 이론적으로 계산할 수 있다.

$F_x=ma=mgsin\theta \rightarrow a=gsin\theta$

한편, 실제 경사면의 기울어진 각도를 구할 수 있어야 하는데, 이는 다음 방법을 이용할 수 있다.

경사면에 대해 길이가 $l$이 되도록 구간을 설정하고, 구간 시작점과 끝점의 높이를 측정한 후, 두 높이 차를 가상의 직각삼각형의 높이로 이용할 수 있다. 이를 이용하면 기울어진 각과 그 각도에 대한 sin 값을 얻을 수 있다.

$tan\theta =\frac{h_2-h_1}{l}\Rightarrow sin\theta=sin(\arctan\frac{h_2-h_1}{l})=0.11951\approx 0.1195$

중력가속도를 $9.80665m/s^2$라고 했을 때 이론 가속도 값을 얻을 수 있다.

$a_{th}=gsin\theta=9.80665m/s^2\times sin\theta=1.172m/s^2$

3) 실험 결과 관측된 가속도와 이론 가속도의 비교

앞서 등가속도 운동에서 시간에 대한 물체의 위치를 표현할 수 있다 했으며, 이는 아래와 같다.

$x(t)=\frac{1}{2}t^2+v_0t+x_0$

물체 운동 시작 지점에서의 속도 $v_0=0$이라 생각하면, 글라이더의 이동거리 $d$와 가속도 $a$ 사이의 관계를 얻을 수 있으며 이는 다음과 같다.

$d=x(t)-x(0)=(\frac{1}{2}at^2+x_0)-x_0=\frac{1}{2}at^2$

$a=\frac{2d}{t^2}$

실험 결과를 이용하면 값을 정리할 수 있다.

4. 토의

등가속도 운동에서 시간과 거리 사이의 일정한 관계를 예측할 수 있다. 이 실험에서 기울어진 경사면을 따라 움직이는 글라이더의 이동거리를 달리하며 포토게이트를 이용해 시간을 측정한다. 이를 통해 가속도 가 일정하게 나타나는지를 확인할 수 있다. 이상적인 등가속도 운동 결과 (거리)는 (시간)$^2$에 대해 일차식을 따르며, 시간에 대해 이차식을 따르게 된다. 시간에 대한 그래프에서 일차함수 관계를 잘 확인할 수 있으나, 시간$^2$에 대한 그래프에서에서 이차함수 관계에서 이차항의 계수가 음수인 추세선이 얻어진 것을 보아 실험 측정 질량에 대해 실험이 잘못 이루어짐을 생각해볼 수 있었다. 표를 정리했을 때, 이동한 거리가 증가함에 따라 계산된 가속도가 감소하는 것을 확인할 수 있었는데($0.074 ~ 0.031m/s^2$), 이러한 오차가 시간-거리 사이의 관계가 예상과 다르게 관측되는데 영향을 주었다고 생각해볼 수 있다.

1) 글라이더 - 빗변 사이의 마찰력

오차 원인으로 글라이더와 경사면 사이의 마찰력에 대해 생각해보기 쉽다. 에어블로어를 통해 글라이더와 빗면의 접촉정도를 최소화할 수 있기 때문이다. 특히 지금처럼 운동을 이미 하고 있는 물체에는 운동마찰력(kinetic friction, $f_k$)을 반영해야 한다. 어떤 물체의 수직항력을 $F_N$이라고 했을 때, 물체가 갖는 운동마찰력을 구할 수 있다.

$f_k=\mu_k F_N=\mu_k mgcos\theta$

이때 $\mu_k$는 운동마찰계수(kinetic friction coefficient)이며, 마찰력은 운동방향과 반대로 작용하므로, 그림 5에 운동마찰력을 반영해서 다시 FBD를 그릴 수 있고, 가속도를 얻을 수 있다.

$F_net=ma=mgsin\theta-f_k=mgsin\theta-\mu_k mgcos\theta$

$a=g(sin\theta - \mu_kcos\theta)$

즉, 마찰력을 고려했을 때의 가속도는 없을 때보다 더 감소하는 것을 확인할 수 있다. 하지만 마찰력을 오차의 원인으로 설정하기에는 문제가 있다. (1) 측정 가속도는 이론 가속도보다 이미 충분히 작게 측정되었다는 점과 (2) 마찰력을 고려한 가속도도 일정한 값을 나타낸다는 점과 (3) 에어블로어는 공기를 글라이더에 쏘며 수직항력을 최소화하고, 이는 마찰력을 무시할 수 있을 정도로 줄여준다는 점 등을 이유로 들 수 있다. 가장 결정적인 것은, 해당 마찰력에 의한 변화는 마찰력의 정량적 감소 정도만 표현할 수 있을 뿐, 거리 증가에 의한 가속도 감소라는 정성적 현상을 설명할 수 없다.

2) 항력(drag force, D)의 영향

가속도가 점점 감소하는 이유로 항력을 생각해볼 수 있다. 항력은 유체내에서 운동하는 물체의 움직임을 방해하는 힘을 의미하는데, 아래와 같이 정의한다.

$D=\frac{1}{2}C\rho Av^2$

C는 항력계수(Drag Force Coefficient), A는 유효 단면적, ρ 는 유체의 밀도를 의미하며, 이 실험에서는 공기의 밀도를 나타낼 것이다. 항력도 마찰력과 같이 물체의 운동방향과 반대로 작용하므로 알짜힘 방정식을 새롭게 세울 수 있다.

$F_{net}=ma=mgsin\theta-D=mgsin\theta-\frac{1}{2}C\rho Av^2=mgsin\theta-\frac{1}{2}C\rho A(at)^2$

$a=gsin\theta-\frac{C\rho At^2}{2m}a^2$

이때 가속도에 대한 계수로 t에 대한 함수가 오게 되므로, 항력에 의한 가속도는 등가속도가 아님을 확인할 수 있다. geogbra를 통해 간단히 시간과 가속도에 대한 함수를 표현해보았다.

실제로 시간이 지남에 따라 가속도가 감소하는 것을 확인할 수 있으며, 실험 1에서 공기에 대한 항력이 일정한 가속도가 나타나지 않게 되는 주요한 원인으로 생각해볼 수 있다.

지금 구한 것은 물체의 이동 시간 증가에 따른 가속도 감소를 설명한 것이지만, 실험 1에서는 각 고정된 거리를 이동한 물체의 가속도를 계산한 것이기에 관련이 없어 보일 수 있다. 그러나 어떤 물체의 이동 거리가 증가했을 때, 해당 물체가 이동해야 하는 시간은 비례하여 증가하기에 연관을 지을 수 있다. 이를 실제로 확인해보려면 로터리 모션센서 등을 활용해서 각 시간/구간마다의 정보를 출력해서 확인해보면 알 수 있을 것이다. 정리하자면, 이동해야 하는 거리가 증가함에 따라 소요되는 시간도 증가하고, 이에 항력의 영향도 증가하여 글라이더의 가속도가 감소됨을 알 수 있다.

한편, 기울어진 빗면에 대한 운동은 물리학에서 많이 적용되는 사례 중 하나이다. 역학적 에너지 보존 법칙을 이용해서 처음 지점과 마지막 지점에서의 속력을 구하면, 이를 이용해서도 가속도, 위치 변화량, 높이 변화량 등을 얻어낼 수 있을 것이다.

5. 참고문헌

David Halliday 외 2인, 일반물리학 개정10판 제 1권(범한서적주식회사, 2018), 32~33, 112~115, 117~122, 124~128, 142~150, 321~322