화공노트: 화학공학 살펴보기

Contents

1. 라플라스 변환을 이용한 상미분방정식의 풀이 (Mechanism for Solving ODE with Laplace Transform)

2. 부분 분수 이론 (Partial Fraction Theory)

3. 라플라스 변환을 이용한 제차 2차 선형 상미분방정식의 풀이 (Solving Homogeneous 2nd ODE by Laplace Transform)

4. 라플라스 변환을 이용한 비제차 2차 선형 상미분방정식의 풀이 (Solving Nonhomogeneous 2nd ODE by Laplace Transform)

1차 ODE도 라플라스 변환을 이용해서 풀이할 수 있었습니다. 마찬가지로 2차 ODE도 라플라스 변환을 이용해서 풀이할 수 있습니다. 1차 ODE에서 미처 못한 얘기를 추가해서 이야기하도록 하겠습니다.

1. 라플라스 변환을 이용한 상미분방정식의 풀이 (Mechanism for Solving ODE with Laplace Transform)

1) 미정계수법, 역연산자법, 그리고 매개변수 변환법을 이용해서 2차 상미분방정식을 풀이할 수 있었습니다. 만약 라플라스 변환을 이용하면 적분이 아닌 대수적인 연산을 통해 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.

2) 2차 선형 ODE가 주어졌다고 생각해보겠습니다. 라플라스 변환과 도함수의 라플라스 변환 등을 이용하면 식을 정리할 수 있습니다.

이때 우리가 원하는 $y(t)$를 얻기 위해 $Y(s)$에 라플라스 역변환을 취해야 합니다. 하지만 현재 형태에서 바로 라플라스 역변환을 취하는 것에는 어려움이 있습니다. 그렇기 때문에 RHS에 있는 유리식들을 라플라스 역변환이 용이하도록 형태를 바꿔줘야 할 필요가 있습니다. 이를 위해서 유리식의 항등성에 생각해볼 필요가 있으며, 이를 부분 분수 이론(partial fraction theory)라고도 합니다.

2. 부분 분수 이론 (Partial Fraction Theory)

다음과 같은 유리함수(rational function)이 있다고 합시다.

$Q(x)$ 즉 분모의 형태에 따라서 식을 변환하는 방법이 달라집니다.

1) $Q(x)$가 서로 다른 실근을 갖는 1차식들의 곱일 때 (product of distinct linear factors)

2) $Q(x)$가 서로 반복되는 1차식들의 곱일 때 (product of repeated linear factors)

3) $Q(x)$가 허근을 갖는 2차 식을 포함하고 있을 때 (irreducible quadratic factors)

4) $Q(x)$가 허근을 갖는 2차 식을 갖고 있고 이 형태가 반복될 때

위의 원리들을 이용해서 라플라스 변환된 유리식을 역변환해서 원래의 형태를 얻어낼 수 있습니다. 많은 경험이 필요한 작업이지만, 변환-역변환 흔적을 찾고, 이를 찾도록 유리식을 변형하는 것이 중요합니다. 2차 상미분방정식을 풀이해보며 어떻게 접근해야 하는 지를 알아보겠습니다.

3. 라플라스 변환을 이용한 제차 2차 선형 상미분방정식의 풀이 (Solving Homogeneous 2nd ODE by Laplace Transform)

1) 제차 2차 상미분방정식의 라플라스 변환

제차 2차 상미분방정식에 라플라스 변환을 취해 대수방정식으로 바꾸어 보겠습니다.

$Y(s)$에 라플라스 역변환을 취할 때 오른쪽 유리식에도 똑같이 역변환을 취해야 할 것입니다. 분모의 $s^2+as+b$의 판별식의 부호에 따라 우리가 적용해야 할 부분 분수 이론이 달라집니다. 앞서 제차 상미분방정식을 풀이할 때 특성방정식의 판별식의 부호를 고려했습니다. 지금도 마찬가지로 분모에 위치한 $s$에 대한 2차 방정식의 판별식의 부호를 구분해야 합니다.

판별식 $D=a^2-4b$

2) 판별식의 부호를 고려한 라플라스 역변환 및 해 구하기

(1) $D>0$ Real, two distinct roots

$s^2+as+b$가 서로 다른 두개의 실근 $λ_1, λ_2$를 갖는다고 하면 아래와 같이 식을 정리할 수 있을 것입니다.

위의 결과에 라플라스 역변환을 취하면 우리가 원하는 해를 얻을 수 있습니다.

(2) $D<0$ Complex, two different roots

$s^2+as+b$가 서로 다른 두 허근을 갖습니다. 그렇기에 완전제곱식의 형태로 식을 변형해야 할 필요가 있습니다.

위와 같은 형태가 라플라스 변환-역변환에 들어오면 삼각함수나 쌍곡선함수를 사용하게 됩니다. 하지만 분모에서 차가 아닌 합으로 표현되어 있으므로 삼각함수의 라플라스 변환에 대해 먼저 생각해야 합니다. s축 이동정리를 이용해서 sin함수와 cos함수의 라플라스 변환에 대해 살펴보겠습니다.

이 관계를 이용하기 위해서 위에서 얻은 라플라스 변환된 다항식을 변형해야 합니다.

여기서 $A_1, A_2$는 결국 임의의 상수 이므로 항등관계에 의해서 $y(0), y’(0)$에 대해 표현될 것입니다. 짚고 넘어가야 할 점은 라플라스 변환의 흔적이 보일 때, 이를 이용하기 위해서 유리식을 변환할 수 있어야 한다는 것입니다. 마찬가지로 라플라스 역변환을 취해주면 우리가 원하던 미분방정식의 해를 얻을 수 있습니다.

(3) $D=0$ Double Roots

$s^2+as+b$가 완전제곱식 $(s+(a/2))^2$로 형태를 갖게 됩니다. 이를 이용해서 식을 변형할 수 있습니다.

s축 이동정리를 고려해서 라플라스 역변환을 취하면 원하던 해를 얻을 수 있습니다.

4. 라플라스 변환을 이용한 비제차 2차 선형 상미분방정식의 풀이 (Solving Nonhomogeneous 2nd ODE by Laplace Transform)

라플라스 변환을 이용해서 비제차 2차 선형 ODE는 어떻게 풀이하는지 그 과정을 살펴보도록 하겠습니다.

정리해보면, 제차 상미분방정식일 때의 유리함수와 특정해와 관련된 유리함수가 나오고, 이 유리식에 대해 라플라스 역변환을 취할 수 있어야 우리가 원하는 해를 얻을 수 있습니다. 이를 위해서는 라플라스 합성곱(convolution)을 이용해야 합니다.

라플라스 합성곱을 이용해서 $Y_p(t)$에 라플라스 역변환을 취하는 것을 살펴보겠습니다.

Contents

프로베니우스 급수와 프로베니우스 방법 (Frobenius Series and Frobenius Method)

 어떠한 미분방정식은 갖고 있는 변수계수 때문에 특정 지점에 대해 해를 구하는 것은 어려울 수 있습니다. 특히 그 부분이 특이점(singular point)이라면 단순히 멱급수를 해로 가정하면 풀이할 수 없을 것입니다. 이 문제를 해결하기 위해 프로베니우스 급수(Frobenius Series)가 고안되었고, 이를 이용해서 미분방정식의 해를 구하는 것을 프로베니우스 방법(Frobenius Method)이라고 합니다.

프로베니우스 급수와 프로베니우스 방법 (Frobenius Series and Frobenius Method)

1) 프로베니우스 급수 (Frobenius Series)

미분방정식 $y’’+p(t)y’+q(t)y=0$이 있다고 해봅시다. 쉬운 설명을 위해서 $p(t), q(t)$에 대해 $t=0$이 singular, regular point라고 생각하겠습니다. 즉, $tp(t), t^2q(t)$는 $t=0$에서 해석적이며, 이는 급수로 나타낼 수 있는 상황에 대해서만 생각하겠음을 의미합니다.

주어진 미분방정식이 위의 조건들을 충족한다면 우리는 적어도 하나의 급수해(*)를 미분방정식의 해로 생각할 수 있으며, 이를 프로베니우스 급수(Frobenius Series)라고 합니다. 프로베니우스의 수학적 표현은 아래와 같습니다.

(*) 적어도 하나의 급수해를 얻는 다는 것은 때로는 2개의 선형독립인 해를 바로 얻을 수 없음을 의미합니다. 이는 추후에 논의할 결정방정식(indicial equation)의 해의 형태를 고려해야 할 필요가 있습니다.

2) 프로베니우스 방법 (Frobenius Method)

프로베니우스 급수를 이용해서 주어진 미분방정식의 해를 구하는 것을 프로베니우스 방법(Frobenius Method)라고 합니다. 이 방법을 사용하는 절차에 대해 얘기해보겠습니다. 우선 요약을 먼저 하고 각 단계를 어떻게 진행하는지 생각해보겠습니다.

Step 1 Trial Solution의 설정과 식의 정리 (Setting Trial Solution and rearranging equation)

Step 2 $r$의 결정과 해의 형태 판단 (Determinant of $r$ and the formula of the general solution)

각 단계를 살펴보겠습니다. 

Step 1 Trial Solution의 설정과 식의 정리 (Setting Trial Solution and rearranging equation)

다음과 같이 미분방정식이 주어졌다고 해보겠습니다.

이때 우리는 $y(t)$와 계수에 위치한 함수들을 급수로 설정합니다.

여기서 미분을 하더라도 index number에 변화가 없는 이유는 $r$때문입니다.

위의 항들을 주어진 미분방정식에 대입해서 식을 다시 작성할 수 있습니다.

Step 2 $r$의 결정과 해의 형태 판단 (Determinant of $r$ and the formula of the general solution)

위의 결과식을 $t^r$로 나누고 $a_n$에 대해 정리할 수 있습니다.

여기서 $a_0$은 반드시 0이 아니여야 합니다. 그렇기에 $a_0$의 계수에 위치한 다항식이 반드시 0이 되어야 합니다. 우리는 이를 결정방정식(indicial equation)이라고 정의합니다. 결정방정식은 $r$에 대한 2차식이므로 반드시 2개의 근을 갖습니다. 두 근의 형태에 따라 프로베니우스 급수로 두개의 독립인 해를 얻을 수 있는지, 아니면 단순히 하나의 해만 얻을 수 있는지 결정됩니다.

만약 프로베니우스 방법에 의해서 하나의 해만 얻었을 때에는 론스키안을 이용해서 또다른 독립해를 얻을 수 있습니다. 다만 그 방법이 복잡하기 때문에 기회가 있을 때 다루도록 하겠습니다.

프로베니우스 방법을 이용해서 해석할 수 있는 대표적인 미분방정식에는 베셀 방정식(Bessel Equaiton)이 있습니다. 이 방정식에 대해서도 다음에 다루어보겠습니다.

Contents

르장드르 방정식(Legendre Equation)과 미분방정식의 풀이

멱급수를 이용해서 미분방정식의 해를 구하는 과정을 살펴보고자 합니다. 특이점을 갖지 않는 르장드르 방정식(Legendre Equation)을 이용해서 이해를 돕고자 합니다.

르장드르 방정식(Legendre Equation)과 미분방정식의 풀이

1) 르장드르 방정식(Legendre Equation)의 형태

르장드르 방정식의 형태는 다음과 같습니다.

만약 $t=1$또는 $t=-1$에서 해석을 하면 Singular point이기 때문에 계산 과정이 복잡하겠지만, 르장드르 방정식의 사용 범위는 특이점을 포함하지 않습니다. 이 사실을 이용해서 르장드르 방정식의 해를 찾도록 하겠습니다.

2) 멱급수를 이용한 상미분방정식의 풀이

특이점을 갖지 않는 상미분방정식의 해를 구하는 과정을 요약하면 다음과 같습니다.

​

Step 1 Trial Solution을 설정하고 이를 주어진 미분방정식에 대입해서 식을 정리한다.

Step 2 Index number $n$을 조정하여 미분방정식이 성립되기 위해 필요한 조건들을 찾는다.

Step 3 일반해를 찾는다.

이제 직접 식을 풀어보며 단계별로 구체적인 설명을 드리겠습니다.

Step 1 Trial Solution을 설정하고 이를 주어진 미분방정식에 대입해서 식을 정리한다.

$t=0$에서의 해를 구해보겠습니다. Trial Solution과 해의 미분형태를 얻을 수 있습니다.

급수에 대해 미분을 한 것이므로 index number $n$이 미분횟수만큼 증가한 것을 확인할 수 있습니다. 이들을 주어진 르장드르 방정식에 대입해서 식을 정리할 수 있습니다.

Step 2 Index number $n$을 조정하여 미분방정식이 성립되기 위해 필요한 조건들을 찾는다.

자명한 해 $t=0$이 아닌 다른 해를 얻는 것이 미분방정식 풀이의 목적입니다. 급수 기호에 포함된 일반항들(이하 피급수항)이 모두 0으로 표현된다면 급수도 0으로 나타나질 것입니다. $t$의 지수부분을 통일하면, 급수를 정리할 수 있습니다. 이를 위해서 급수의 index number $n$을 조정하는 것입니다. 보통 가장 높은 차수를 갖고 있는 $t$에 대한 지수로 통일을 합니다. 좀 더 살펴보겠습니다.

주어진 각 항들을 전개했을 때 $n=2$부터는 급수를 이용해서 간단하게 표현할 수 있음을 확인할 수 있습니다. 이를 위해서 index number을 조정해야 합니다. 여기서 가장 높은 $t$의 차수가 $n$이기 때문에 이에 맞추어 가장 첫번째 급수의 index number을 바꿔줘야 합니다.

수열의 합을 이용한 표현은 결국 무수한 합을 편리하게 표현하기 위해 사용된 것입니다. 그렇기에 올바르게 index number을 조정했다면 급수는 같아야 합니다. 위에서의 index number 조정은 $n-2$를 $n$으로 바꾼 것이기 때문에 나머지 n들도 모두 2씩 증가하도록 표현한 것입니다. ($n-2=k$라고 치환했다고 생각하면 이해하기가 더 편할 것입니다.) 조정된 급수를 이용해서 식을 정리하면 아래와 같습니다.

정리한 식이 임의의 $t$에 대해 성립하기 위해서는 $t$에 대한 계수가 0이면 됩니다. 이를 이용해서 미분방정식이 0이기 위한 조건들을 얻을 수 있습니다.

이때 $λ=m(m+1)$이라고 하고 식을 한 번 더 정리할 수 있습니다.

Step 3 일반해를 찾는다.

위에서 얻은 조건을 바탕으로 일반해를 표현할 수 있습니다. 우선 위에서 $a_2$는 $a_0$로부터 시작하고 $a_3$이 $a_1$으로부터 시작하기 때문에 우리는 홀수-홀수 짝수-짝수 관계인지를 생각해볼 수 있습니다. 그리고 주어진 조건에서 점화식이 $n - n+2$관계를 보입니다. 이는 $n$과 $n+2$가 모두 홀짝이 동일한 것을 의미합니다. 즉, $a_{2n-1}$은 $a_1$로부터 확장되고, $a_{2n}$은 $a_0$으로부터 확장되는 사실을 알 수 있습니다. 이를 생각하여 일반해를 표현할 수 있습니다.

Contents

1. 멱급수와 멱급수의 성질 (Power Series and its Properties)

2. 해석지점의 구분 (Classification of Points)

3. Trial Solution의 설정 (Setting Trial Solution)

오일러 코시 방정식은 변수계수를 갖는 2차 ODE의 특수한 형태 중 하나입니다. 일반적인 미분방정식을 풀이할 때에는 급수(Series)를 이용할 수 있습니다. 급수의 성질에 대해 간단히 알아보고, 급수를 이용해서 상미분방정식을 풀이할 때 유의해야 하는 부분에 대해 설명하겠습니다.

1. 멱급수와 멱급수의 성질 (Power Series and its Properties)

1) 멱급수의 개념

급수를 다양한 맥락에서 들어볼 수 있었습니다. ODE의 풀이에서는 멱급수를 주로 사용합니다. 해석하고자 하는 부분에서의 근사다항식을 표현해주고, 이는 보다 편하고 직관적인 해석을 제공해줄 수 있기 때문입니다. 멱급수는 아래와 같이 표기합니다.

이는 $t_0$지점에서 $f(t)$를 확장한 것이고, 수렴반경(Range of Convergence, $R$) 내에서만 유효합니다.

2) 멱급수의 미분과 적분

멱급수는 결국 다항함수이기 때문에 미분과 적분을 쉽게 할 수 있습니다.

(1) 미분 (differential)

미분을 한번 진행함에 따라 급수가 시작하는 index number $n$이 1씩 증가하는 것을 유의해야 합니다.

(2) 적분 (integration)

적분은 미분과 다르게 $n$이 증가하지 않습니다.

(3) 비(율)판정법 (Cauchy Ratio Test)

미분과 적분을 수행하더라도 수렴반경은 변화하지 않지만, 수렴구간은 변화할 수 있습니다. 그래서 이를 확인하는 작업이 필요하고, 대표적으로 비(율)판정법(Cauchy Ratio Test)을 이용할 수 있습니다.

이때 경계지점 ($t-t_0=R$)은 특이점(critical point)이기 때문에 직접 조사를 할 필요가 있습니다.

대입 결과 생긴 무한급수의 수렴성을 조사해서 해상 경계지점에서 멱급수가 수렴인지 발산인지를 확인해서 구간을 구체화해야 한다.

2. 해석지점의 구분 (Classification of Points)

대부분의 멱급수는 기준점 $t_0$와 멀지 않은 $t$에서 해석됩니다. 그렇기에 해석자가 기준으로 삼으려는 지점에서 상미분방정식이 멱급수로 작성될 수 있는지에 대해 먼저 알아야 합니다. 미분방정식이 다음처럼 주어졌다고 하겠습니다.

1) 정상점 (Ordinary Point)

$t=t_0$에서 $p(t), q(t), r(t)$가 급수로 표현될 수 있으면(해석적이면), 이 지점을 정상점(ordinary point)라고 합니다.

2) 정칙특이점 (Singular, Regular Point)

$t=t_0$에서 $p(t), q(t), r(t)$가 무한히 발산해서 급수로 표현될 수 없을 때 우리는 $t=t_0$을 특이점(singularity)라고 합니다. 이를 해석적이게 만들기 위해서 $p, q$에 각각 $(t-t_0), (t-t_0)^2$를 곱해볼 수 있습니다. 만약 곱한 형태의 식이 수렴하여 급수로 표현될 수 있을 때 우리는 이 지점을 정칙특이점(singular regular point)이라고 합니다.

3) 비정칙특이점 (Singular, Nonregular Point)

어떤 특이점에서 $(t-t_0), (t-t_0)^2$를 곱함에도 불구하고 급수로 표현할 수 없다면 우리는 이 지점을 비정칙특이점(singular nonregular point)이라고 합니다.

3. Trial Solution의 설정 (Setting Trial Solution)

상수계수를 갖는 ODE를 풀이할 때처럼, 멱급수를 이용해서 미분방정식의 해를 표현할 때도 trial solution을 설정합니다. 그리고 이를 주어진 미분방정식에 대입해서 얻어진 관계를 통해 Trial solution을 결정합니다. 주어진 ODE와 해석지점의 특이성(singularity)을 고려해서 Trial Solution을 두어야 합니다. 해석지점이 $t_0=0$을 예로 들어 설명하겠습니다.

1) 비특이점(Nonsingular point)에서의 Trial Solution

비특이점에서 미분방정식의 해를 구할 때는 멱급수를 trial solution으로 설정하면 됩니다.

2) 특이점(Singular point)에서의 Trial Solution

특이점에서 미분방정식의 해를 구할 때에는 특이성을 안정화시킬 수 있도록 $t^r$을 곱한 형태를 trial solution으로 둡니다. 우리는 이를 프로베니우스 방법(Frobenius Method)이라고 하고, 추후에 어떻게 사용하는지 살펴볼 것입니다.

Contents

오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation)

지금까지는 상수만을 계수로 갖는 2차 상미분방정식들에 대해서만 살펴봤습니다. 하지만 많은 상미분방정식들은 계수들을 변수로 갖는 경우가 많습니다. 이때 우리는 급수해(Series Solution)을 이용해서 미분방정식의 해를 표현합니다. 이번에는 변수계수를 갖는 미분방정식의 예시인 오일러-코시 방정식(Euler-Calucy Equation)에 대해 살펴보고자 합니다.

오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation)

1) 형태

오일러-코시 방정식의 형태는 아래와 같고, 2차 ODE에 대해서도 정리할 수 있습니다.

편의를 위해서 계수들을 각각 $a, b, c$로 표현한 것입니다.

2) 풀이

오일러-코시 방정식 풀이는 제차 2차 ODE를 풀이하는 것과 그 방식이 유사합니다. 우선 모든 단계를 전체적으로 살펴보겠습니다.

Step 1 trivial solution을 둔다. ($y(t)=t^m$)

Step 2 설정한 해를 방정식에 다시 대입해서 특성방정식을 얻는다. ($am ^2+(b-1)m+c)$)

Step 3 특성방정식에 따라 해의 형태를 결정한다.

상수계수를 갖는 제차 2차 ODE에서는 $y(t)=e^{λt}$로 설정한 것에서 $y(t)=t^m$으로 바꾸어 설정한 것이 변했고, 그래서 특성방정식도 다른 형태로 얻어진 것입니다. 그러면 특성방정식의 판별식의 부호에 따라 작성되는 식의 형태도 차이가 있음을 예상할 수 있을 것입니다. 조금 더 구체적으로 살펴보겠습니다.

설정한 식을 오일러-코시 방정식에 넣으면 식을 정리할 수 있습니다. 주어진 식이 만족하려면 $t^m=0$이거나 $m$에 대한 방정식이 0이여야 합니다. 하지만 $t^m=0$일 때 오일러-코시 방정식이 성립하는 것은 자명합니다. 그렇기에 해에서 어떠한 의미도 가져올 수 없습니다. 따라서 우리에게 의미가 있는 해를 얻기 위해서 필요한 조건은 $m$에 대한 방정식이 0인 것이고, 이를 특성방정식으로 생각할 수 있습니다. 좀 더 편한 계산을 위해 이 방정식을 $m$에 대해 정리할 수 있고 그 결과는 다음과 같습니다.

특성방정식이 $m$에 대한 2차방정식이므로 이를 계산해서 풀이할 수 있습니다. 하지만 특성방정식에서의 판별식 $D=(b-a)^2-4ac$의 부호에 따라 $m$의 형태가 달라질 것입니다. 각각의 경우 해가 어떻게 다르게 나타나는지 살펴보겠습니다.

3) $D$의 부호에 따른 해의 형태

(1) $D>0$: Real, two different roots

판별식의 부호가 양수라면 서로 다른 2개의 실근 $m_1, m_2$가 나올 것입니다.

(2) $D<0$: Complex, two different roots

판별식의 부호가 음수라면 복소수 형태를 갖는 서로 다른 2개의 실근이 얻어질 것입니다.

보다 편한 논의를 위해서 근의 실수부분을 $α$, 근의 복소수부분을 $β$라고 정의한 것입니다. 이를 이용해서 해를 표현하겠습니다.

비교적 해의 형태가 간단하게 바뀌었지만, 여전히 지수에 허수 $i$가 있어서 계산 시에 불편할 수 있습니다. 이 문제는 Euler Identity를 이용해서 식의 형태를 편하게 바꿀 때 해결할 수 있습니다. 밑을 자연상수로 갖지 않는 형태이더라도 약간의 식의 변형을 통해 Euler Identity를 사용할 수 있습니다.

이를 이용해서 해를 정리할 수 있습니다.

(3) $D=0$ Double Root

판별식이 0일 때에는 하나의 해만 얻을 수 있기 때문에 차수축소법(Reduction of Order)을 이용해서 또 다른 기저해를 찾을 필요가 있습니다. 차수축소법을 모르거나 기억이 나지 않으면 아래의 링크를 참고하면 될 것 같습니다.

이때 $p(t)$가 어떠한 미분방정식에서 오는지 확인할 필요가 있습니다.

라그랑쥐 차수축소법 이용 시 적용하는 $p(t)$는 미분방정식의 최고차항 계수가 1일 때를 이야기한 것이므로 $b/(at)$인 것을 확인할 수 있습니다. 마저 $y_2$를 찾고 해를 결정하겠습니다.

아마 첫번째 줄에서 절댓값을 날리는 과정이 이해가 안될 수 있는데, 이는 끌고가서 계산을 하더라도 결국 $c_2$에 포함될 것을 감안하여 미리 계산의 편의를 위해 부호를 무시한 것입니다.

Contents

매개변수 변환법 (the method of Variation of Parameter)

 미정계수법은 상수계수를 갖는 2차 ODE를 풀이하기에 좋은 방법이지만, 시간이 비교적 오래 걸리는 단점이 있습니다. 그리고 $y_p(t)$의 형태가 $y_h(t)$에 포함되어 있는지도 해를 구하기 전에 미리 예측해야 하는 번거로움이 있습니다. 이러한 문제점들을 보완하기 위해 매개변수 변환법(method of Variation of Parameter)을 이용할 수 있습니다.

매개변수 변환법 (the method of Variation of Parameter)

1) 매개변수 변환법 개념

다음과 같은 미분방정식이 주어졌다고 생각하겠습니다.

이때 매개변수 변환법을 이용해서 $y_p(t)$를 구하는 것은 해의 형태를 아래처럼 둔다는 것을 뜻합니다

즉, 주어진 미분방정식이 제차 ODE일 때 얻은 해의 기저들의 계수를 하나의 변수로 두고, 이를 풀이해서 $y_p(t)$를 얻는 것입니다. 각각의 매개변수 계수 $u(t)$와 $v(t)$는 다음과 같습니다.

예시를 통해 이해해보도록 하겠습니다.

우선 제차 상미분방정식일 때의 해 $y_h(t)$일 때의 해부터 구하겠습니다.

그리고 매개변수 변환법을 이용해서 $y_p(t)$를 구할 수 있습니다.

그리고 주어진 초기조건을 이용해서 조건에 적합하는 유일한 해를 구할 수 있습니다.

2) 의의와 한계

매개변수 변환법을 이용하면 상수계수를 갖는 모든 2차 상미분방정식을 풀이할 수 있습니다. 또는 오일러 코시 상미분방정식 (Euler-Cauchy ODE, $t^2y’’+ty’+y=r(t)$)를 풀이할 수 있습니다. 하지만, 변수를 계수로 갖는 2차 상미분방정식을 풀이하는 데에는 제한이 있습니다. 이러한 미분방정식을 풀 때는 급수해(Series Solution)를 이용하거나 수치해석(Numerical Analysis)를 이용합니다.

Contents

미정계수법 (Method of Undetermined Coefficients)

미정계수법 (Method of Undetermined Coefficients)

미정계수법은 forcing function $r(t)$과 형태가 유사하게 특수해 $y_p (t)$를 설정해서 해를 구하는 것입니다. $y_p (t)$를 주어진 상미분방정식에 대입한 후 항등식의 결정방법 중에서 계수비교법을 이용해서 해를 결정합니다. forcing function의 형태에 따라 설정하게 되는 $y_p (t)$를 아래에 정리했습니다.

풀이과정은 다음과 같습니다.

Step 1 제차 방정식의 풀이

주어진 미분방정식에서 forcing function을 0으로 설정할 때 생기는 제차 미분방정식을 풀어줍니다. 혹시 그 방법을 모르겠다면 아래의 링크를 참고하면 되겠습니다.

6. 특성방정식과 상수 계수를 갖는 제차 2차 선형 상미분방정식의 풀이 :: 화공&책 리뷰 (tistory.com)

Step 2 특수해의 설정

위의 표를 참고해서 forcing function의 형태에 맞게 $y_p(t)$를 설정하고 대입한 후 계수비교를 통해서 형태를 결정합니다.

예시를 통해 설명해보겠습니다.

EX

주어진 문제가 다음과 같다고 하겠습니다. 우선 forcing function $e^t=0$으로 두면 제차 상미분방정식으로 형태가 변하고, 이는 특성방정식을 이용해서 풀이할 수 있습니다.

forcing function이 지수함수 형태를 띠고 있음을 이용해서 해를 결정할 수 있습니다. 그리고 주어진 초기조건을 이용해서 유일한 해 하나를 찾을 수 있습니다.

 ** 주의사항 **

만약 $y_p(t)$에 $y_h(t)$ 형태 중 일부를 포함하고 있다면 새롭게 $y_p(t)$를 설정해야 합니다. 이는 $t^k y_p(t)$로 설정하는 것을 의미합니다. 이때 $k$는 제차 ODE의 해의 형태와 겹치는 것이 없을 때 까지 그 크기를 높여주어야 합니다. 예를 들어보겠습니다.

위의 예시에서 $r(t)$만 $e^{3t}$로 바꾼 문제입니다. 하지만 이 forcing function은 $y_h(t)$에서 이미 등장하는 형태입니다. 그렇기에 아무리 $y_p(t)$를 결정하더라도 결국 $y_h(t)$에 흡수되어 제차 상미분방정식에 대한 해 밖에 얻지 못합니다. 따라서 $y_p(t)=Ate^{3t}$로 두고 식을 풀어야 합니다.

Contents

1. 상수계수를 갖는 2차 제차 선형 상미분방정식의 형태 (Homogeneous 2nd order linear ODE with Constant Coefficient)

2. 특성방정식(Characteristic Equation)과 상수계수를 갖는 2차 제차 선형 상미분방정식의 풀이 (Characteristic Equation and Solving Homogeneous 2nd order linear ODE with Constant Coefficient)

3. 특성방정식에 따른 해의 형태 구분 (Classification of Solution)

2차 ODE를 풀이하기 위해서는 우선 제차 2차 ODE를 풀이할 수 있어야 합니다. 우선 상수 계수를 갖는 제차 2차 선형 ODE를 어떻게 풀이하는 지를 알아보고자 합니다. 그 과정에서 정의되는 특성방정식(characteristic equation)의 형태에 대해서도 살펴보겠습니다. 이는 상미분방정식을 풀이하는 데에도 기본적으로 할 수 있어야 하는 계산이고, 심지어 편미분방정식을 풀이하는 데에도 사용됩니다. 그렇기에 처음 공부할 때 잘 기본을 다져야 할 필요가 있습니다.

1. 상수계수를 갖는 2차 제차 선형 상미분방정식의 형태 (Homogeneous 2nd order linear ODE with Constant Coefficient)

1) 정의에 따른 표현

상수계수를 갖는 2차 제차 선형 상미분방정식은 선형 상미분방정식의 정의로부터 표현될 수 있습니다.

이 상미분방정식이 2차라고 주어졌기 때문에 $a_2≠0$이고, 이를 이용해서 식을 정리한 것입니다.

2) 미분연산자(Differential Operator, $D$)를 이용한 표현

미분연산자는 미분기호를 보다 편하게 작성하기 위해 정의되었습니다. 미분연산자의 형태와 이를 이용해서 미분방정식을 표현할 수 있습니다.

미분연산자를 이용하면 마치 대수식처럼 미분방정식을 표현할 수 있습니다. 미분연산자의 차수를 보고 주어진 상미분방정식의 차수도 쉽게 파악할 수 있습니다.

** 여담이지만, 연산자(Operator)는 특정 물성값(observation)을 관찰하기 위해 취하는 도구입니다. 여기서 어떤 변수 $y$에 미분연산자의 조합 $D^2+aD+b$를 취하는 것은 해당 변수의 2차 상미분방정식을 얻어내겠다는 것과 같은 의미입니다.

2. 특성방정식(Characteristic Equation)과 상수계수를 갖는 2차 제차 선형 상미분방정식의 풀이 (Characteristic Equation and Solving Homogeneous 2nd order linear ODE with Constant Coefficient)

이제 어떻게 제차 2차 ODE를 풀이하는지 살펴보겠습니다. 우선 전반적인 풀이 순서를 먼저 보여주고, 각 단계에 대한 부가적인 설명을 하겠습니다.

Step 1 $y=e^{λt}$를 해로 설정합니다.

이렇게 해를 두는 이유를 논의하는 것은 꽤 어려운 일입니다. 이해를 돕기 위해 조금만 설명만 드리겠습니다. 보통 자연상수를 밑으로 하는 지수함수는 미분해도 형태를 거의 유지하고, 형태에 따라 계수에만 변화가 있을 뿐입니다. 그래서 $y=e^{λt}$를 해로 두면 추후 계산을 더 편리하게 진행할 수 있습니다.

Step 2 $y=e^{λt}$를 주어진 미분방정식에 대입한 후 식을 정리해서 대수방정식을 얻어냅니다.

우리가 $y=e^{λt}$를 해로 두었기 때문에 주어진 미분방정식에 대입해도 무방합니다. 지수형태가 그대로 남지만, 모든 항에 지수항이 있고, 이는 항상 양수이기에 나누어 소거할 수 있습니다. 마저 정리하면 대수방정식(Algebric Equation, AE)를 얻을 수 있습니다.

정리 결과 얻은 식 $λ^2+aλ+b$을 특성방정식(characteristic eqn)또는 보조방정식(auxiliary eqn)이라고 합니다. 이는 λ에 대한 2차 방정식이고, 판별식의 결과에 따라 해의 형태가 상이합니다. 조금 뒤에 자세하게 다루겠습니다.

Step 3 선형조합을 이용해서 일반해를 표현합니다.

특성방정식을 푼 후 $λ$를 구하면 주어진 ODE의 일반해를 표현할 수 있습니다.

여기서 $c_1$과 $c_2$는 초기조건 또는 경계조건에 의해 결정됩니다. 1차 ODE에서 초기조건에 1개가 필요했음을 생각하면, 2차 ODE에서는 2개의 초기조건 또는 2개의 경계조건이 있어야 모든 계수가 결정될 수 있음을 알 수 있습니다. 아래의 글을 읽어보면 미분방정식과 조건설정에 대해 좀 더 이해할 수 있을 것입니다.

부록 1 미분방정식과 조건설정 :: 화공&책 리뷰 (tistory.com)

3. 특성방정식에 따른 해의 형태 구분 (Classification of Solution)

위에서 구했던 특성방정식을 근의 공식을 이용해서 풀 수 있고, 그 결과는 다음과 같습니다.

결국 해의 형태는 모두 일반해처럼 표현됩니다. 하지만 판별식의 부호에 따라 편하게 사용할 수 있는 해의 형태에는 차이가 있습니다. 먼저 그 결과들을 요약해보고, 각각의 경우를 살펴보겠습니다.

1) $D>0$ : Real, two different roots

우선 판별식이 2개의 서로 다른 실근을 가지는 경우 나타나는 해의 방식에 대해 살펴보도록 하겠습니다.

일반해에서 각 기저해들의 계수들은 초기조건에 의해 정해집니다. 단순히 지수의 형태를 이용해서 해를 표현해도 무방하지만, 후에 편미분방정식을 풀이할 때에는 지수형태 보다는 다른 형태를 이용할 때 계산이 편한 경우가 많습니다. 이 경우에는 쌍곡선함수(Hyperbolic Function)이용해서 위의 일반해를 표현할 수 있습니다.

이를 일반해에 대입을 해서 식을 정리할 수 있습니다.

2) $D<0$ : Complex, two different roots

$D>0$일 때와 비슷하게 계산을 할 수 있습니다.

이 경우에는 Euler’s Identity에 의해 알려진 지수함수와 삼각함수의 관계를 이용해서 식을 다시 작성할 수 있습니다.

이를 일반해에 대입해서 다른 형태로 작성할 수 있습니다.

3) $D=0$ : Real, Double Root

중근을 갖는 경우에는 일차독립은 2개의 근을 한번에 찾아낼 수 없습니다. 그렇기에 일전에 배운 차수축소법을 이용할 수 있어야 합니다.

이때 새로 구한 $y_2$가 실제로 $y_1$에 대해 일차독립인지는 론스키안을 이용해서 확인해볼 수 있습니다.

계산결과 론스키안이 1로 반드시 0이 아니기 때문에 $y_2$는 $y_1$에 대해 일차독립인 것을 다시 확인할 수 있습니다.

Contents

1. 차수축소법 (the Reduction of Order)

2차 상미분방정식의 해를 표현하기 위해서 2개의 일차독립인 해의 기저가 필요합니다. 하지만 몇몇 경우 풀이의 결과로 단 하나의 해의 기저만 확인되는 경우가 있습니다. 예를 들어 $y_1=y_2$일 때도 일반해를 표현할 수 없게 됩니다. 따라서 $y_1$에 대해 독립이고 미분방정식에 해의 기저로 작동할 수 있는 또 하나의 해를 찾을 필요가 있습니다. 라그랑쥐의 차수축소법(the Reduction of Order)을 이용하면 또다른 해 $y_2$를 얻을 수 있습니다.

1. 차수축소법 (the Reduction of Order)

$y_1$을 제차 2차 선형 ODE를 풀이한 결과 얻은 하나의 해라고 생각해봅시다. 차수축소법을 이용하면 $y_1$과 독립이고 주어진 2차 ODE를 충족하는 또 다른 해 $y_2$를 얻을 수 있습니다.

이 식을 무조건 외우라고만 하면 어려움을 느낄 수 있습니다. 그렇기에 유도과정을 간략하게 살펴보겠습니다.

우선 $y_2$를 위의 형태를 따를 것이라고 생각하고, ODE에 넣어서 식을 정리할 수 있습니다.

이때 정리된 식에서 우리가 풀어야 하는 것은 $u$입니다. $y_1$은 이미 계산된 해이기 때문입니다. 하지만 우리는 아직 1차 ODE만 풀 수 있기에 $u’$을 치환해서 식을 계속 풀어나갈 수 있습니다.

$U$에 대한 1차 미분방정식을 풀이하면 $t$에 대해 정리된 식을 얻을 수 있습니다. 하지만 우리는 $u$를 구해야 하는 것이므로 치환된 형태를 다시 환원해야 합니다.

이 결과를 이용하면 우리는 $y_2$를 얻을 수 있을 것입니다. 사실 문제를 풀이할 때 이처럼 유도를 하나하나 하면 시간이 오래 걸립니다. 그렇기에 요약된 알고리즘을 살펴보겠습니다.

검은색 화살표 순서대로 정의를 한 후, 다시 역순으로 풀이를 해주기만 하면 $y_2$를 얻을 수 있습니다.

예시를 통해 이해해보겠습니다.

해당 2차 ODE를 풀면 $y_1$만 얻게 됩니다. 그렇기에 차수축소법을 이용해서 $y_2$를 구한 것입니다. 새로 구한 해가 미분방정식의 해가 될 수 있는지 알고 싶으면 이를 다시 대입하면 됩니다. 그 과정은 다음과 같습니다.

간단한 2차 ODE를 풀어보며 해의 존재성과 유일성을 이해해보고, 미분방정식에서의 조건설정을 살펴보겠습니다.

고등학교 시절 미적분을 공부할 때, 주로 수직선상에 위치한 물체의 운동을 다룹니다. 이를 위해 $x(t)$를 위치함수를 두고 속도함수 $x’(t)$, 그리고 가속도함수 $x’’(t)$에 대해 생각해본 적이 있을 것입니다. 해당 물체가 수직선상에서 가속도를 갖지 않는 등속도 운동을 한다고 생각해보겠습니다. 그러면 가장 단순한 2차 ODE를 세울 수 있으며, 이를 풀이할 수 있습니다.

해가 존재한다는 것은 위처럼 적분을 해서 미분방정식을 풀어 해를 구할 수 있음을 의미합니다. 하지만 이 해는 아직 유일하지 않습니다. $C_1$과 $C_2$의 적분상수가 존재하기 때문입니다. 2개의 미지수를 정하기 위해서 2개의 조건이 필요합니다.

(1) 초기조건(IC)을 이용한 유일한 해 결정

초기조건이 다음과 같이 제시되어 있다고 생각했을 때 적분상수들을 쉽게 결정할 수 있습니다.

이는 우리가 배웠던 등속도 운동을 하는 물체의 수직선상에서의 위치인 것을 알 수 있습니다.

(2) 경계조건(BC)를 이용한 유일한 해 결정

미지수의 개수만큼 조건이 있어야 미지의 정보를 결정할 수 있다는 것은 잘 알려져 있습니다. 이는 조건이 초기조건의 형태를 갖지 않더라도 해가 유일하게 결정될 수 있음을 뜻합니다. 경계조건(BC)를 이용해서도 해의 유일함을 결정할 수 있습니다. 초기조건에 시간에 중점을 두는 반면 경계조건은 대상의 위치를 표현하는 조건들입니다. 경계조건이 아래와 같을 때 마찬가지로 적분상수를 쉽게 결정할 수 있고, 유일한 해를 결정할 수 있습니다.

경계조건을 이용한 유일한 해의 결정은 보통 편미분방정식(PDE)에서 주로 사용됩니다. 추후 PDE를 다룰 때 경계조건에 대해 조금 더 이야기해보도록 하겠습니다.

조건의 종류가 해의 유일성을 결정하는데 중요한 것이 아닙니다. 조건의 ‘개수’가 중요한 것입니다. 미분방정식이 풀어지는 조건의 형태는 제한적이지만, 단순히 상미분방정식이 꼭 초기조건만으로만 유일한 해가 결정되는 것이 아님을 강조하고 싶었습니다. 대개 n차 상미분방정식의 경우 풀이하는 과정에서 n개의 적분상수가 생길 것임을 생각할 수 있기에 n개의 조건을 부여해야 유일한 해가 결정됩니다.

조금 더 구체적으로 생각해보면 $C_1$은 1번 미분된 해에서 나타나는 적분상수이고, $C_2$는 0번 미분된 해에서 나타나는 적분상수 이기 때문에 $C_1$에 대한 조건만 제시되지 않는 한 유일한 해를 결정할 수 있을 것입니다.

(3) 조건 조합을 이용한 유일한 해 결정

그렇다면 초기조건과 경계조건의 선형조합에 의해 제시된 조건도 미분방정식의 해를 유일하게 결정할 수 있는지에 대해 살려보겠습니다.

마찬가지로 유일한 해를 결정할 수 있습니다.

물체의 거동을 설명하는 미분방정식은 동일하더라도, 조건을 어떻게 부여함에 따라 나타나는 해의 형태는 다양합니다. 그래서 미분방정식에서 조건의 설정은 매력적인 행위입니다. 문제풀이를 할 때에는 조건에 대해 많이 고민하는 경우는 없을 것입니다만, 조건은 위의 이유 때문에 제시되었음을 생각해볼 수 있다고 기대합니다.