0. 편미분방정식을 시작하며..

 

물리적 물성(property)은 시공간의 영향을 받는다. 공간 또는 시간이 변함에 따라 물성도 변화한다. 대표적으로 온도, 에너지 등이 있다. 이러한 물성들은 다변수 함수로 표현된다. 

 

편미분방정식(Partial Differential Equation)은 물리, 공학에서 주로 사용되는 수학적 도구다. 이는 관찰하고자 하는 물성의 편도함수(partial derivatives)사이의 관계를 나타낸다. 아래는 수직선상의 움직임과 시간의 변화를 고려한 1D equation이다.

$\frac{{\partial}^2 u}{{\partial}^2 t}=c^2 \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}^2 x}$

 

편미분방정식의 해는 시공간에서의 물성의 분포(distribution)를 표현한다. 변수의 변화에 따라 달라지는 물성을 표현하기 때문이다. 그렇기에 편미분방정식을 얻어내는 것과 이를 풀어내는 것 모두 중요한 문제이다. 하지만 편미분방정식을 풀이하는 것은 어렵다. 한 문제를 풀이 하는 데에도 많은 지면을 필요로 하고, 그렇기에 포기하는 사람이 많은 것 같다. 사실 대학교 학부 수준에서 접하게 되는 편미분방정식은 실제의 편미분방정식의 일부일 뿐이다. 손으로 풀 수 있는 극히 일부의 문제들을 다루는 경우가 태반이다. 그럼에도 불구하고 학부 정규 교육과정을 따라가기 위해서나 시험을 보기 위해서 최소한의 편미방은 직접 풀이할 수 있어야 한다. 

 

처음으로 편미분방정식을 접하고, 수업 시간에 놓친 내용을 위해서 여러 자료를 찾아보는 경우가 많다. 하지만, 영어에 비해 한글로 된 자료가 많지 않다. 상미분방정식, 수치해석, 선형대수학 등 유명한 수학 과목에 비해서는 한글로된 정보가 극히 드물다. 그래서 먼저 편미방을 공부해본사람으로서 약간의 경험을 나눠보려 한다. 전문적인 내용까지는 다루지 못하더라도, 공학수학이나 수리물리학에서 제시된 내용을 차근차근 설명해보려 한다. 

 

바로 편미분방정식에 대해서 이야기하고 싶지만, 몇가지 알아야 하는 선수지식들이 있다. 이를 먼저 살펴본 후 본격적으로 편미분방정식에 대한 이야기를 이어가려 한다. 현재 아래의 순서에 맞게 글을 게시할 계획이다.

 

Contents

1. Presquites (선수지식)

1) Fourier Series and Fourier Transform (푸리에 급수와 푸리에 변환)

- 편미분방정식을 풀이하게 되면 상미분방정식과 비슷하게 기저해의 선형결합을 통해 일반해를 얻는다. 이때 각 기저해가 갖는 계수를 결정할 때 푸리에 급수/변환이 사용된다. 그렇기에 이를 어떻게 계산하는지 살펴보려 한다.

2) Strun-Louville Theory (스트룸-리우빌 이론)

- 스트룸-리우빌 이론은 2차 선형 상미분방정식을 소재로 한다. 편미분방정식을 공부하는데 상미분방정식 개념이 왜 필요한지 의문을 가질 수 있다. 편미분방정식을 손으로 풀이할 때 하나의 편미분방정식을 하나 또는 여러개의 상미분방정식으로 나누어 풀이하는 기법이 사용된다. 특히, 편미분방정식으로부터 여러개의 2계 선형 상미분방정식을 얻는 경우가 많다. 따라서 스트룸-리우빌 이론을 다루어 편미분방정식의 풀이를 돕고자 한다.

3) Initial Conditon(IC) and Boundary Conditon(BC) (경계조건)

- 상미분방정식과 편미분방정식의 큰 차이중 하나가 조건을 중요시한다는 점이다. 상미분방정식의 경우 조건이 특별히 제시되어 있지 않아도 일반해를 얻는 데에서 그쳐도 크게 상관하지 않는다. 하지만 편미분방정식의 해는 조건의 설정 형태에 따라서 우리가 얻게되는 최종 해의 형태가 상이하다. 그렇기에 조건에 대해서 조금 더 심도깊은 논의를 해볼 필요가 있다. 경계조건의 제치화(Homogenization)를 다룰 예정이다.

 

2. Solving Partial Differential Equation (Solving PDE, 편미분방정식의 풀이)

1) Classification of PDE (편미분방정식의 분류)

- 본격적인 편미분방정식의 내용에 대한 공부에 앞서 편미분방정식의 종류를 먼저 알 수 있어야 한다. 각각의 방정식의 종류에 따라 풀이방식이 상이하기 때문이다. 2차 편미분방정식에 대해 (즉, 최대 미분횟수가 2회인 편미분방정식에 대해) 소개를 할텐데, 이 편미방은 Hyperbolic, Parabolic, Elliptic으로 분류된다. 각각을 어떻게 구분하는 지와 예시를 소개할 것이다.

2) Technique for Solving PDE (1) Seperation of Varibales (편미분방정식 풀이 (1) 변수분리법)

- 편미분방정식의 풀이는 편미분방정식을 상미분방정식으로 바꾸는 데에서 시작하는 경우가 많다. 그 중에서 가장 널리 이용되는 변수분리법(Seperation of Variables)을 이용해서 편미분방정식을 풀이하는 방법에 대해 소개하고자 한다. 

3) Technique for Solving PDE (2) Transformation Method (편미분방정식 풀이 (2) 변환을 이용하는 풀이)

- 편미분방정식을 풀이할 때 라플라스 변환 등을 이용해서 상미분방정식으로 전환한 후 풀이를 이어나가는 경우가 있는데, 이 방법을 소개하고자 한다.

4) Technique for Solving PDE (3) Similarity Method (편미분방정식의 풀이 (3) 상사성 변환)

- 특정 경계조건 하에서는 편미분방정식을 단 하나의 상미분방정식으로 변환해서 풀이를 할 수 있다. 이 방법은 유체역학에서 차원해석에 대해 공부를 할 때 접하는 경우가 많고, 처음 접할 시 이해를 하는데 어려움이 있기에 간단하게 소개해보고자 한다.

 

예정) Special Functions

- Bessel 방정식, Legendre 방정식 등 물리학에서 주로 사용되는 방정식과 그 풀이과정에 대해 소개하고, 각각의 해가 갖는 특성에 대해 이해해고자 한다. 공학수학보다는 수리물리학에서 주로 다루는 주제이며, 그렇기에 내용이 보다 어려울 수 있다. 다룰 수 있는 기회가 있다면 간단히 내용을 얘기해보려 한다.

 

이어지는 글들에서는 개념에 대한 소개를 이어가고 필요하다면 문제 풀이 과정을 함께 제시하려 한다.