5. 푸리에 적분 (Fourier Integral)

Contents

1. 실수형태에 대한 푸리에 적분 (Fourier Integral with Real Form)

- 실수 형태로 표현된 푸리에 급수를 이용해서 푸리에 적분을 표현하는 방법에 대해서 알아볼 것입니다.

2. 복소형태에 대한 푸리에 적분 (Fourier Integral with Real Form)

- 복소지수함수 형태로 표현된 푸리에 급수를 이용해서 푸리에 적분을 표현하는 방법에 대해서 알아볼 것입니다.

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 지금까지 우리는 푸리에 급수 공부해왔습니다. 푸리에 급수는 표현하려는 함수가 주기함수여야 한다는 가정 아래 논의되었습니다. 하지만 우리가 다루게 될 많은 함수들은 주기를 갖지 않습니다. 주기도 관찰되지 않으며 해석도 어려운 함수를 다루기 위해서 푸리에 급수를 더 발전시키게 됩니다. 어떠한 주기함수에 대해서 해당 주기를 무한대까지 극한을 보내는 방법을 사용합니다. 즉, 주기의 크기가 무한대에 수렴하는 푸리에 급수를 구하는 것을 뜻합니다. 이를 푸리에 적분(Fourier Integral)이라고 합니다.

 

푸리에 급수는 실수형태로 정의되거나 허수를 포함한 지수함수의 형태로 표현되었습니다. 그렇기에 각각의 형태로부터 푸리에 적분을 유도하는 과정에 대해 살펴보겠습니다.

 

1. 실수형태에 대한 푸리에 적분 (Fourier Integral with Real Form)

푸리에 급수로 표현 가능하고 구간 $[-T/2,T/2]$에서 정의된 함수 $f(x)$가 있다고 해보겠습니다. $f(x)$에 대해 푸리에 급수를 작성하겠습니다.

이때 계산상의 편의를 위해 아래의 변수를 정의하겠습니다. 그러면 아래의 관계도 성립하는 것을 알 수 있습니다.

실제로 푸리에 급수가 어떻게 계산되는 지를 파악하기 위해 푸리에 계수를 푸리에 급수에 실제로 대입해보겠습니다. 복잡한 표기를 피하기 위해 위에서 정의한 새로운 변수도 이용하겠습니다.

이제 이 함수의 주기 $T$를 무한대로 보내 하나의 함수로 만들 것입니다. 함수 하나를 정의하겠습니다.

이 함수는 푸리에 급수를 적용할 수 있는 함수의 주기를 무한대로 보내어 주기함수가 아닌 하나의 함수를 정의한 것입니다. 주기를 극한으로 보낼 때 푸리에 급수가 수렴하려면 하나의 가정이 필요합니다. 함수 $f(x)$의 적분결과가 유한하다는 것입니다. 이를 수학적으로 표현할 수 있습니다.

이 가정은 시그마 안에 있는 두 적분항들도 적분이 가능하다는 것을 설명합니다. 이는 삼각함수의 치역때문인데, 아래의 부등식에 표현하겠습니다.

삼각함수의 절댓값은 1보다 클 수 없기 때문에 해당 관계식이 성립하며, 부등식의 삼단 논법에 의해 $f(x)$의 적분 유한성이 확장되어 적용될 수 있습니다. 예시로 코사인함수를 사용했지만, 사인함수의 경우도 결과가 동일하기에, 푸리에계수는 모두 적분이 가능하다는 것을 알 수 있습니다.

 

적분구간을 고려하여 무한에 가까운 주기를 갖는 함수에 대한 각각의 푸리에 계수를 정의할 수 있습니다.

이 결과들을 종합하여 무한대에 가까운 주기를 갖는 함수에 대한 푸리에 급수를 표현하면 다음과 같습니다.

이때 시그마 기호 안에 묶여있는 삼각함수를 하나의 함수로 본다면 주어진 부분합의 극한을 리만 적분(Rimann Integral)으로 표현할 수 있습니다. (자세한 내용은 미적분학을 참고하면 알 수 있습니다.) 그 결과는 다음과 같습니다.

푸리에 급수를 공부할 때 모든 함수는 우함수와 기함수로 표현될 수 있음을 공부했습니다. 푸리에 적분을 이용해서 함수를 표현해도 이 내용은 동일할 것입니다. 

이때 주어진 함수가 짝수일 때 얻어지는 푸리에 적분을 푸리에 코사인 적분(Fourier Cosine Intergral)이라고 하며, 홀수 함수일 때 얻는 푸리에 적분을 푸리에 사인 적분(Fourier Sine Integral)이라 합니다.

 

2. 복소형태에 대한 푸리에 적분 (Fourier Integral with Real Form)

본격적인 적분에 앞서 복소지수함수형태를 포함한 푸리에 급수의 형태를 다시 한번 살펴보겠습니다.

함수의 주기를 확장하기 위해 새롭게 함수를 정의하고, 이에 대해 푸리에 급수를 다시 작성할 수 있습니다.

실수형태에서의 푸리에 적분을 구하는 것과 마찬가지로 푸리에 계수를 급수식에 대입한 후 식을 전개하겠습니다.

마찬가지로 몇가지 변수를 새로이 정의하고, 이를 이용해서 다시 함수를 표현하겠습니다.

논의를 위해 함수 $f(x)$가 적분 가능하다고 하겠습니다. (구체적인 설명은 실수로 표현된 푸리에 적분을 참고하시면 되겠습니다.) 편한 표기를 위해 푸리에 계수를 정의하겠습니다.

이 형태는 추후 알게되겠지만 푸리에 변환(Fourier Transformation)의 형태입니다. 이를 이용해서 푸리에 적분을 마저 얻어내겠습니다.