Contents
1. Introduction (도입)
- 푸리에 급수와 푸리에 변환의 개념과 유용성에 대해 간단하게 소개합니다.
2. Properties of Trigonometric Function (삼각함수의 특성)
- 푸리에 급수와 푸리에 변환을 다룰 때 삼각함수를 가장 많이 다루는 삼각함수의 수학적 특성에 대해 간단하게 살펴봅니다.
1. Introduction (도입)
어떤 함수를 분석하기 위해서 근사(approximation)를 취하는 경우가 많습니다. 대표적으로 어떤 함수를 대수적으로 다루려고 할 때 테일러 급수(Taylor's Series)나 매클로린 급수(Maclaurin's Series)를 사용할 수 있습니다. 하지만 이 방법은 분석하려는 함수가 분석구간에서 연속적이여야 합니다. 연속함수이더라도 근사 기준점으로부터 분석지점이 멀어진다면 오차가 커지는 단점을 갖고 있습니다. 이 문제를 해결하기 위해 푸리에 급수(Fourier Series)나 푸리에 변환(Fourier Transformation)을 이용할 수 있습니다.
푸리에 급수/변환을 이용하면, 불연속적인 함수로 시작하더라도 부분적으로 연속인 함수(piecewise-continuous fucntion)로 바꾸어 표현할 수 있게됩니다. 이는 푸리에 급수/변환이 삼각함수를 기저로 한 조합으로 표현되기에 가능합니다. 변환하려는 함수가 주기함수라면 푸리에 급수를 이용할 수 있습니다. 주기 함수가 아니라면, 주기를 무한대로 갖는 함수로 생각해서 푸리에 적분을 취할 수 있고, 이를 푸리에 변환이라고 합니다. 추후 자세히 살펴보겠습니다.
결국 푸리에 급수와 푸리에 변환을 다룰 때 삼각함수에 대해 잘 알아두어야 합니다. 그렇기에 삼각함수의 몇가지 특성에 대해 알아보고자 합니다.
2. Properties of Trigonometric Function (삼각함수의 특성)
1) 삼각함수는 주기함수입니다. 어떠한 함수가 주기를 $T$로 가질 때 주기함수는 아래와 같이 정의됩니다.
주기함수에서의 주기는 위의 식을 만족시키는 가장 작은 양수를 의미합니다.
2) 삼각함수는 몇가지 항등성을 갖습니다. (Trigonometric Identity)
(1) 삼각함수의 덧셈정리 (Angle Sum Identitiy)
삼각함수의 덧셈정리는 여러 방법을 이용해서 증명할 수 있지만, 이미 고등수학에서 그 방법이 제시되어 있기 때문에 생략하겠습니다. 삼각함수의 덧셈정리의 결과를 이용하면 삼각함수를 이용한 여러 항등식을 얻을 수 있습니다.
(2) 합에서 곱으로의 표현 (From Sum to Multiplication)
(3) 곱에서 합으로의 관계 (From Multiplication to Sum)
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