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공학수학에서 편미분방정식을 풀이할 때 경계조건이 제차(Homogeneous)인 경우를 많이 제시해줍니다. 어떤 경우에는 비제차 경계조건(Inhomogeneous Boundary Condition)이 제시된 경우도 많습니다. 이때는 고유함수의 선형조합으로 일반해를 나타내지 못합니다. 따라서 이번 글에서는 비제차 경계조건이 제시되었을 때 이를 해결하는 방법에 대해 살펴볼 것입니다. 이 방법을 경계조건의 제차화(Homogenization of Boundary Condition)라고 말하기도 합니다.
비제차 경계조건 문제는 다음과 같습니다.
어떤 일반화된 경계조건에 대해 그 결과가 0이 아님을 확인할 수 있습니다. 그렇기에 이 상황에서 우리가 문제를 풀이한다 하더라도 일반해를 얻을 수 없습니다.
해의 형태를 아래처럼 가정했을 때, 경계조건을 제차 형태를 따르도록 만들 수 있습니다.
원래 방정식의 해가 제차형태일 때의 해와 어떤 steady-state(equilibrium) 즉, 시간을 따르지 않는 해의 조합으로 쓰인다고 생각한 것입니다. 비제차 2차 선형 상미분방정식을 풀이하기 위해 우선 제차일 때의 해를 구하고, 그 다음 특수해를 구했던 것과 거의 유사한 것을 알 수 있습니다.
이제 이를 원래의 방정식에 대입해서 정리해보겠습니다.
어떤 평형상태(steady-state)에 대한 해를 구하고, 이를 제거하면 제차 형태를 따르는 경계조건을 구할 수 있게 됩니다.
지금까지 편미분방정식의 종류 및 판단방법, 변수분리법, 그리고 비제차 경계조건을 갖는 문제에 대한 해결방법까지 살펴봤습니다. 다음 글 부터는 각각의 편미분방정식을 어떻게 풀이해야 하는지 그 과정에 대해 자세하게 다루어보려고 합니다.
감사합니다.