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상미분방정식을 설명하는 많은 일반해들이 있습니다. 편미분방정식은 그렇지 않습니다. 아직 잘 설명된 일반해는 없고, 단지 알려진 풀이 방법만 존재할 뿐입니다. 편미방을 풀이할 수 있는 몇가지 방법이 있습니다. 공학수학을 배울 때는 변수분리법(Separation of Variables)을 처음 접하게 되기에, 이를 이용해서 편미방을 푸는 방법에 대해 살펴보겠습니다.
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변수분리법을 이용한 편미분방정식의 풀이
1) 의의
우리는 왜 변수분리법을 사용하게 되었을까요? 이를 이용하면 n차원 편미분방정식을 n개의 상미분방정식의 풀이로 문제상황을 바꿀 수 있습니다.
2) 적용
3차원 라플라스 방정식을 예로 들어보겠습니다. 3차원 편미분방정식이므로 아마 3개의 상미분방정식 풀이로 바뀔 것입니다.
풀이 과정을 단계별로 살펴보겠습니다
Step 1 종속변수에 관여한 변수들을 분리한다.
해가 각 변수에 대한 함수의 조합이라고 생각하는 것에서 풀이를 시작합니다. 저희는 현재 3차원 라플라스 방정식을 다루고 있기에 $x, y, z$ 3가지 변수가 관여할 것입니다. 그렇기에 위처럼 변수를 분리할 수 있습니다.
Step 2 식의 재작성
식 (**)를 식 (*)에 대입해서 정리할 수 있습니다.
$X, Y, Z$ 중 하나라도 0이 되면 해도 0이 되므로, $XYZ$는 0이 될 수 없습니다. 이를 이용해서 식을 정리한 것입니다.
Step 3 가정을 통한 상미분방정식으로의 문제 전환
식 (***)의 각 항들은 모두 일정한 값을 가져야 합니다. 이 이유에 대해 설명하겠습니다.
편미방의 해가 각각 독립적인 변수에 대한 함수의 조합으로 표현된다 생각하고 문제를 풀이하고 있습니다. 만약 이 세 개의 항 중 하나라도 상수가 아니라면, 하나의 변화로 인해 나머지 항들의 값도 따라 변하게 됩니다. 세 항의 합이 일정하기 때문입니다. 즉, 이 세 항 중 하나의 항이라도 일정하지 않다면, 독립적인 변수에 대해 식을 설정한 전제에 대해 모순이 발생하게 됩니다. 따라서 각각의 항들은 모두 일정한 값을 따라야 합니다.
각 항들을 일정한 상수로 두고 문제풀이를 이어가겠습니다.
위의 과정을 따라 식을 정리할 수 있습니다. 지금은 어떤 음수로 일정할 것이라고 가정했지만, 주어진 경계조건에 따라 다른 부호의 값을 따르는 경우도 있습니다. 원래는 그냥 어떤 상수로 일정하다고 두면 되겠습니다.
정리하자면, 변수분리법을 통해 식을 정리하면 3차원 편미분방정식이 3개의 상미분방정식을 풀이하는 문제로 바뀐 것을 알 수 있습니다.
Step 4 상미분방정식의 풀이와 해의 조합
현재 풀어야 하는 미분방정식은 선형 제차 상미분방정식이기 때문에 특성방정식(characteristic equation)을 풀이하면 해를 쉽게 얻을 수 있습니다.
A를 X, Y, Z를 대표하는 변수로 두었기에 각 변수에 대한 해도 표현할 수 있습니다.
각 변수에 대한 해를 얻었으니, 이들을 다시 곱하면 원래 해를 얻을 수 있습니다.
Step 5 선형결합을 통한 방정식의 해 구하기
우리가 위에서 얻은 해는 특정 고윳값에 대한 고유함수입니다. 이 편미분방정식이 선형이고, 주어진 경계조건이 모두 제차(homogeneous)라면 선형조합을 통해 주어진 구간을 설명할 수 있는 해를 구할 수 있습니다.
Step 6 계수의 결정
위에서 얻은 해는 모든 경계/초기조건이 결정되지 않은 해입니다. 그렇기에 주어진 초기/경계조건을 활용해서 고유함수의 계수를 결정해야 합니다.
이는 고유함수의 직교성을 이용해서 구하게 되며, 이를 위해 내적을 활용합니다. 주어진 조건들에 따라 계수가 다르게 결정될 것이고, 주어진 문제를 설명할 수 있는 특정해를 얻게 됩니다.
지금까지 변수분리법을 활용해서 편미분방정식을 풀이하는 일반적인 과정에 대해 살펴봤습니다. 각각의 문제에 대해 풀이해야 하는 방식이 다르기 때문에 뒤에서 여러 예시들을 보여드리겠습니다.
그 전에 한가지 내용에 대해 더 살펴볼 필요가 있습니다. 비제차 경계조건이 주어진 경우입니다. 선형조합의 원리는 경계조건이 제차를 따를 때만 사용 가능하기에, 비제차 경계조건이 주어진 경우에는 약간의 식 조작이 더 필요합니다.
다음 글에서는 이러한 내용에 대해 살펴보겠습니다.
감사합니다.