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이제부터 편미분방정식을 본격적으로 풀이하게 됩니다. 사실 변수분리법(Separation of Variables)을 이용해서 상미분방정식 문제로 바꿔주는 원리는 동일합니다. 다만 설정된 경계조건의 형태에 따라 문제를 풀이하는 과정이 다양할 뿐입니다. 그렇기에 여러 문제를 풀어보는 것이 중요합니다. 타원형 쌍곡선을 풀이하는 것은 라플라스 방정식(Laplace Equation)을 풀이하는 것이며, 3가지 예제를 가져왔습니다. 이 방정식 풀이의 이해에 도움이 되었으면 합니다. 이번 글에서는 1차 열전도를 살펴볼 것입니다.
1차 타원형 편미분방정식 (1D Elliptic PDE)
문제 상황은 다음과 같습니다.
1차원, 즉 x 방향으로의 전달만 고려하는 문제입니다. 1차 라플라스 방정식은 상미분방정식의 형태를 따르므로 일반해를 구하고, 주어진 경계조건으로 적분상수만 결정해주면 됩니다.
문제에서 요구하는 답을 구할 수 있고, 어떤 선형함수를 따라 온도가 바뀌는 것을 알 수 있습니다.