13. 편미분방정식의 형태와 분류(Formation and Classification of PArtial Differential Equation)

 

 

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안녕하세요 화공노트입니다. 지금까지 편미분방정식 풀이를 위해 필요한 개념 2가지(푸리에 급수, 스트룸 리우빌 문제)에 대해 살펴봤습니다. 드디어 편미분방정식 공부를 위한 준비를 마쳤습니다.

 

이번 글에서는 우리가 주로 다룰 편미분방정식의 형태와 종류, 그리고 이를 분류하는 방법에 대해 살펴볼 것입니다. 편미분방정식은 상미분방정식과 달리 조건 설정이 매우 유의미합니다. 그렇기에 편미분방정식에서의 조건 설정과 조건이 갖는 의미에 대해서도 살펴보겠습니다.

 

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1. 편미분방정식의 형태 (Formation of Partial Differential Equation)

편미분방정식은 상미분방정식과 달리 서로 다른 2개 이상의 변수를 포함하고 있습니다. 대부분 시간-공간 변수들이 관여합니다. 이해를 돕기 위해 선형 2차 편미분방정식(linear second order partial differential equations)을 살펴보겠습니다.

선형 2차 편미분방정식의 형태

1) 미분 횟수 고려

종속변수 $u$에 대해 앞의 세 항은 2번 미분되었고, 뒤의 세 항은 1번 미분됨을 알 수 있습니다.

 

2) 제차, 비제차

한편, 등호 오른쪽에 있는 항 $g$의 형태가 이 편미방의 제차, 비제차 여부를 결정합니다. 만약 $g$가 0이라면 이 방정식은 제차(homogeneous)이며, 0이 아니라면 비제차(inhomogeneous)임을 알 수 있습니다.

 

2. 편미분방정식의 분류와 예시 (Classification of PDE and Examples)

1) 편미분방정식의 분류

어떤 편미분방정식의 문제가 주어졌을 때, 이 방정식의 형태를 구분하는 것이 중요합니다. 2차 미분항(2nd Differential Terms)의 계수관계를 이용하면 주어진 방정식의 종류를 판단할 수 있습니다.

편미분방정식의 분류 결정식 및 부호에 따른 식의 종류

이 식은 이차방정식에서 판별식하고 매우 형태가 유사합니다. 이 식의 부호에 따라 방정식의 종류를 구분할 수 있습니다. 음수라면 타원형 편미분방정식(Elliptic PDE), 양수라면 쌍곡선형 편미분방정식(Hyperbolic PDE), 그리고 0이라면 포물선형 편미분방정식(Parabolic PDE)이라고 합니다.

 

2) 편미분방정식의 예시

각 종류의 편미분방정식에 대표적인 예시를 살펴보겠습니다

 

(1) 쌍곡선형 편미분방정식 ($b^2-4ac>0$)

양자역학에서 주로 등장하는 파동방정식(Wave Equation)은 쌍곡선형의 대표 예시라 할 수 있습니다.

파동방정식과 슈뢰딩거 방정식

(2) 포물선형 편미분방정식 ($b^2-4ac=0$)

열 및 물질전달에서 분자 사이의 접촉으로 인해 물질, 열, 에너지 등이 전달되는 내용을 배울 수 있습니다. 이를 설명하는 열 전도 방정식(또는 확산 방정식, Heat/Diffusion Equation)은 포물선형의 대표적인 예시라 할 수 있습니다.

열전도 방정식 (또는 확산 방정식)

(3) 타원형 편미분방정식 ($b^2-4ac<0$)

한편, 라플라스 방정식(또는 포텐셜 방정식, Laplace/Potential Equation)은 타원형 편미분방식을 대표하는 예시입니다.

라플라스 방정식

3. 편미분방정식의 풀이를 위한 조건 설정 (Setting Condition for Solving PDE)

1) 편미분방정식의 해의 특성

편미분방정식을 풀이하면 해의 다양성을 확인할 수 있습니다. 같은 방정식으로부터 시작하더라도 경계조건과 경계조건에 의해 최종 형태는 상이합니다.

 

많은 공학관련 전공을 공부할 때, 현상을 일반적으로 설명하는 방정식들을 유도할 때가 있습니다. 이 식에 문제 상황을 나타내는 조건을 설정하고 풀이할 때 해를 얻을 수 있습니다. 즉, 여러분은 정량적인 예측을 하기 위해 식을 유도하고 풀이하게 되는 것이지요.

상미방/편미방으로부터 해를 결정하기 위해 필요한 조건의 설정

2) 풀이를 위해 필요한 조건의 개수

편미분방정식을 풀이하기 위해 조건을 적절히 설정해주어야 합니다. 시간과 관련된, 그리고 공간과 관련된 변수에 대해 설정해야 하는 조건, 그리고 그 개수는 다음과 같습니다.

 

(1) 시간변수와 관련된 항은 초기조건(Initial Condition, IC)을 설정하고, 공간변수와 관련된 항은 경계조건(Boundary Condition)을 설정한다.

 

(2) 각 변수에 대해 미분 차수만큼 조건이 필요하다.

 

파동방정식을 예로 들어 조건 설정의 이해를 돕고자 합니다

파동방정식을 이용한 조건 설정의 이해

시간과 관련된 항에 대해서는 초기 조건을, 공간과 관련된 항에는 경계 조건을 각각 2개씩 설정해야 함을 알 수 있습니다. 둘 다 미분이 2번씩 되어있기 때문입니다. 조건과 관련된 내용이 더 궁금하다면 아래의 글이 도움이 될 것입니다.

 

8. 초기조건과 경계조건 (Initial Condition and Boundary Condition)

 

3) 경계조건의 물리적 의미

경계조건은 초기조건의 또 다른 형태입니다. 하지만 경계조건은 몇 가지 물리적 의미를 포함하고 있습니다.

 

(1) 경계조건은 어떤 시스템의 양 끝 정보만 표현하지만, 이를 이용해서 해를 결정하면 분석하고자 하는 시스템의 물성의 분포를 알 수 있도록 도와줍니다.

 

(2) 그렇기에 실험 분석 시 편미분방정식을 활용해야 할 때, 시스템 내부의 정보를 알기 위해서 올바른 경계조건만 설정해주면 됩니다.

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Contents Review

지금까지 편미분방정식의 형태와 종류를 알아보고, 어떤 종류인지 분류하는 방법을 살펴봤습니다. 그리고 이를 풀이하기 위해 조건을 설정하는 방법에 대해서도 살펴봤습니다.

 

다음 글에서는 편미분방정식을 풀이할 때 가장 많이 사용하게 될 변수분리법(Separation of Variables)에 대해 살펴보겠습니다.

 

글에 관해 궁금한 점이 있으면 댓글 남겨주세요.

 

감사합니다.