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지금까지 스트룸 리우빌 이론이 무엇인지, 스트룸 리우빌 연산자가 어떤 특성을 갖고 있는지 살펴봤습니다. 이번 글에서는 스트룸 리우빌 이론의 가장 단순한 예제를 같이 살펴보며, 실제 상미분방정식을 풀이하는 데 스트룸 리우빌 이론이 어떻게 이용될 수 있는지 살펴보겠습니다.
스트룸 리우빌 이론을 이해하기 위해 간단한 예시를 살펴보겠습니다.
어떠한 이차 상미분 방정식은 스트룸 리우빌 연산자를 이용해서 작성될 수 있었습니다. 실제로 그런지 살펴보겠습니다.
스트룸 리우빌 연산자에서 $p, q, r$이 각각 $-1, 0, 1$이 될 때 예시로 가져온 미분연산자가 될 수 있음을 확인할 수 있습니다. 그렇기에 주어진 미분방정식을 고윳값 문제로 해석할 수 있습니다.
첫번째 등호 관계는 주어진 미분연산자를 취한 형태를 표현한 것이고, 두 번째 등호는 미분연산자에 대해 고윳값 문제를 나타낸 것입니다. 이제 문제를 풀기 위해 두 등호 사이의 관계를 얻을 수 있습니다. 그 결과 주어진 문제를 2차 선형 상미분방정식으로 해결할 수 있음을 알게 됩니다.
결국, 미분방정식을 풀이해서 고윳값(eigenvalue)을 얻을 수 있고, 이때 얻은 해는 고유함수(eigenfunction)라고 말할 수 있습니다.
2차 선형 상미분방정식은 특성방정식(characteristic equation)을 이용해서 풀이합니다. 이 문제의 경우 고윳값의 부호가 상미분방정식의 해의 형태를 결정합니다. 각 고윳값의 부호에 따라 상미분방정식의 해가 어떻게 나타나는지 살펴보겠습니다.
특성방정식의 풀이는 결국 이차방정식의 풀이로부터 시작됩니다. 그렇기에 고윳값의 부호에 따라 얻어지는 근의 개수 및 형태가 다르며, 이를 정리할 수 있습니다. 고윳값이 양수일 때는 포물선 함수(Hyperbolic Function)을, 고윳값이 음수일 때는 오일러 항등성(Euler’s Identity), 그리고 고윳값이 0인 중근을 가질 때에는 라그랑쥐의 차수 축소법(Reduction of Order)을 이용했습니다. 결과를 다시 요약하겠습니다.
한편, 조건을 만족하는 해를 얻기 위해 경계조건을 대입해봐야 합니다. 이를 위해 일반해에 경계조건을 대입해서 자명하지 않은 해(nontrivial solution)를 얻어야 합니다. 이때 자명하지 않은 해란 조건을 만족하는 해가 0이 아닌 어떠한 해를 의미합니다. 직접 대입해보며 살펴보겠습니다.
고윳값이 0 이상인 경우, 주어진 경계조건을 만족하기 위해서는 계수가 모두 0이 되어 해도 0이 됩니다. 이는 우리가 미분방정식을 풀지 않아도 얻을 수 있는 자명한 해입니다. 그렇기에 이 경우는 주어진 문제의 답이 될 수 없습니다. 정확히는 크게 의미 있는 정보를 주지 않습니다.
고윳값이 음수인 경우는 조금 다른 양상을 보입니다. 경계조건을 만족시키는 어떠한 고유함수가 존재할 수 있으며, 이는 고윳값의 결정으로 정해지게 될 것입니다.
고유함수의 직교성을 이용한다면, 경계조건을 만족하는 어떤 함수를 고유함수의 선형조합으로 표현할 수 있다는 사실을 배웠습니다. (Eigenfunction Expansion) 이를 나타내면 다음과 같습니다.
주어진 문제에 대한 고유함수를 선형조합으로 표현했더니 푸리에 사인 급수(Fourier Sine Series)임을 알게 되었기에, 각 고유함수에 대한 계수를 구하는 것은 어렵지 않을 것입니다.