9. 변수계수를 갖는 제차 2차 상미분방정식의 소개와 예시: 오일러-코시 방정식

 

 

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오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation)

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지금까지는 상수만을 계수로 갖는 2차 상미분방정식들에 대해서만 살펴봤습니다. 하지만 많은 상미분방정식들은 계수들을 변수로 갖는 경우가 많습니다. 이때 우리는 급수해(Series Solution)을 이용해서 미분방정식의 해를 표현합니다. 이번에는 변수계수를 갖는 미분방정식의 예시인 오일러-코시 방정식(Euler-Calucy Equation)에 대해 살펴보고자 합니다.

 

오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation)

1) 형태

오일러-코시 방정식의 형태는 아래와 같고, 2차 ODE에 대해서도 정리할 수 있습니다.

편의를 위해서 계수들을 각각 $a, b, c$로 표현한 것입니다.

 

2) 풀이

오일러-코시 방정식 풀이는 제차 2차 ODE를 풀이하는 것과 그 방식이 유사합니다. 우선 모든 단계를 전체적으로 살펴보겠습니다.

 

Step 1 trivial solution을 둔다. ($y(t)=t^m$)

Step 2 설정한 해를 방정식에 다시 대입해서 특성방정식을 얻는다. ($am ^2+(b-1)m+c)$)

Step 3 특성방정식에 따라 해의 형태를 결정한다.

 

상수계수를 갖는 제차 2차 ODE에서는 $y(t)=e^{λt}$로 설정한 것에서 $y(t)=t^m$으로 바꾸어 설정한 것이 변했고, 그래서 특성방정식도 다른 형태로 얻어진 것입니다. 그러면 특성방정식의 판별식의 부호에 따라 작성되는 식의 형태도 차이가 있음을 예상할 수 있을 것입니다. 조금 더 구체적으로 살펴보겠습니다.

설정한 식을 오일러-코시 방정식에 넣으면 식을 정리할 수 있습니다. 주어진 식이 만족하려면 $t^m=0$이거나 $m$에 대한 방정식이 0이여야 합니다. 하지만 $t^m=0$일 때 오일러-코시 방정식이 성립하는 것은 자명합니다. 그렇기에 해에서 어떠한 의미도 가져올 수 없습니다. 따라서 우리에게 의미가 있는 해를 얻기 위해서 필요한 조건은 $m$에 대한 방정식이 0인 것이고, 이를 특성방정식으로 생각할 수 있습니다. 좀 더 편한 계산을 위해 이 방정식을 $m$에 대해 정리할 수 있고 그 결과는 다음과 같습니다.

특성방정식이 $m$에 대한 2차방정식이므로 이를 계산해서 풀이할 수 있습니다. 하지만 특성방정식에서의 판별식 $D=(b-a)^2-4ac$의 부호에 따라 $m$의 형태가 달라질 것입니다. 각각의 경우 해가 어떻게 다르게 나타나는지 살펴보겠습니다.

 

3) $D$의 부호에 따른 해의 형태

(1) $D>0$: Real, two different roots

판별식의 부호가 양수라면 서로 다른 2개의 실근 $m_1, m_2$가 나올 것입니다.

(2) $D<0$: Complex, two different roots

판별식의 부호가 음수라면 복소수 형태를 갖는 서로 다른 2개의 실근이 얻어질 것입니다.

보다 편한 논의를 위해서 근의 실수부분을 $α$, 근의 복소수부분을 $β$라고 정의한 것입니다. 이를 이용해서 해를 표현하겠습니다.

비교적 해의 형태가 간단하게 바뀌었지만, 여전히 지수에 허수 $i$가 있어서 계산 시에 불편할 수 있습니다. 이 문제는 Euler Identity를 이용해서 식의 형태를 편하게 바꿀 때 해결할 수 있습니다. 밑을 자연상수로 갖지 않는 형태이더라도 약간의 식의 변형을 통해 Euler Identity를 사용할 수 있습니다.

이를 이용해서 해를 정리할 수 있습니다.

(3) $D=0$ Double Root

판별식이 0일 때에는 하나의 해만 얻을 수 있기 때문에 차수축소법(Reduction of Order)을 이용해서 또 다른 기저해를 찾을 필요가 있습니다. 차수축소법을 모르거나 기억이 나지 않으면 아래의 링크를 참고하면 될 것 같습니다.

 

5. 라그랑쥐의 차수축소법

이때 $p(t)$가 어떠한 미분방정식에서 오는지 확인할 필요가 있습니다.

라그랑쥐 차수축소법 이용 시 적용하는 $p(t)$는 미분방정식의 최고차항 계수가 1일 때를 이야기한 것이므로 $b/(at)$인 것을 확인할 수 있습니다. 마저 $y_2$를 찾고 해를 결정하겠습니다.

아마 첫번째 줄에서 절댓값을 날리는 과정이 이해가 안될 수 있는데, 이는 끌고가서 계산을 하더라도 결국 $c_2$에 포함될 것을 감안하여 미리 계산의 편의를 위해 부호를 무시한 것입니다.