10. 변수계수를 갖는 제차 2차 상미분방정식 풀이를 위한 급수의 이해

Contents

1. 멱급수와 멱급수의 성질 (Power Series and its Properties)

2. 해석지점의 구분 (Classification of Points)

3. Trial Solution의 설정 (Setting Trial Solution)

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오일러 코시 방정식은 변수계수를 갖는 2차 ODE의 특수한 형태 중 하나입니다. 일반적인 미분방정식을 풀이할 때에는 급수(Series)를 이용할 수 있습니다. 급수의 성질에 대해 간단히 알아보고, 급수를 이용해서 상미분방정식을 풀이할 때 유의해야 하는 부분에 대해 설명하겠습니다.

 

1. 멱급수와 멱급수의 성질 (Power Series and its Properties)

1) 멱급수의 개념

급수를 다양한 맥락에서 들어볼 수 있었습니다. ODE의 풀이에서는 멱급수를 주로 사용합니다. 해석하고자 하는 부분에서의 근사다항식을 표현해주고, 이는 보다 편하고 직관적인 해석을 제공해줄 수 있기 때문입니다. 멱급수는 아래와 같이 표기합니다.

이는 $t_0$지점에서 $f(t)$를 확장한 것이고, 수렴반경(Range of Convergence, $R$) 내에서만 유효합니다.

2) 멱급수의 미분과 적분

멱급수는 결국 다항함수이기 때문에 미분과 적분을 쉽게 할 수 있습니다.

(1) 미분 (differential)

미분을 한번 진행함에 따라 급수가 시작하는 index number $n$이 1씩 증가하는 것을 유의해야 합니다.

(2) 적분 (integration)

 

적분은 미분과 다르게 $n$이 증가하지 않습니다.

(3) 비(율)판정법 (Cauchy Ratio Test)

미분과 적분을 수행하더라도 수렴반경은 변화하지 않지만, 수렴구간은 변화할 수 있습니다. 그래서 이를 확인하는 작업이 필요하고, 대표적으로 비(율)판정법(Cauchy Ratio Test)을 이용할 수 있습니다.

이때 경계지점 ($t-t_0=R$)은 특이점(critical point)이기 때문에 직접 조사를 할 필요가 있습니다.

대입 결과 생긴 무한급수의 수렴성을 조사해서 해상 경계지점에서 멱급수가 수렴인지 발산인지를 확인해서 구간을 구체화해야 한다.

 

2. 해석지점의 구분 (Classification of Points)

대부분의 멱급수는 기준점 $t_0$와 멀지 않은 $t$에서 해석됩니다. 그렇기에 해석자가 기준으로 삼으려는 지점에서 상미분방정식이 멱급수로 작성될 수 있는지에 대해 먼저 알아야 합니다. 미분방정식이 다음처럼 주어졌다고 하겠습니다.

1) 정상점 (Ordinary Point)

$t=t_0$에서 $p(t), q(t), r(t)$가 급수로 표현될 수 있으면(해석적이면), 이 지점을 정상점(ordinary point)라고 합니다.

2) 정칙특이점 (Singular, Regular Point)

$t=t_0$에서 $p(t), q(t), r(t)$가 무한히 발산해서 급수로 표현될 수 없을 때 우리는 $t=t_0$을 특이점(singularity)라고 합니다. 이를 해석적이게 만들기 위해서 $p, q$에 각각 $(t-t_0), (t-t_0)^2$를 곱해볼 수 있습니다. 만약 곱한 형태의 식이 수렴하여 급수로 표현될 수 있을 때 우리는 이 지점을 정칙특이점(singular regular point)이라고 합니다.

3) 비정칙특이점 (Singular, Nonregular Point)

어떤 특이점에서 $(t-t_0), (t-t_0)^2$를 곱함에도 불구하고 급수로 표현할 수 없다면 우리는 이 지점을 비정칙특이점(singular nonregular point)이라고 합니다.

  

3. Trial Solution의 설정 (Setting Trial Solution)

상수계수를 갖는 ODE를 풀이할 때처럼, 멱급수를 이용해서 미분방정식의 해를 표현할 때도 trial solution을 설정합니다. 그리고 이를 주어진 미분방정식에 대입해서 얻어진 관계를 통해 Trial solution을 결정합니다. 주어진 ODE와 해석지점의 특이성(singularity)을 고려해서 Trial Solution을 두어야 합니다. 해석지점이 $t_0=0$을 예로 들어 설명하겠습니다.

1) 비특이점(Nonsingular point)에서의 Trial Solution

비특이점에서 미분방정식의 해를 구할 때는 멱급수를 trial solution으로 설정하면 됩니다.

2) 특이점(Singular point)에서의 Trial Solution

특이점에서 미분방정식의 해를 구할 때에는 특이성을 안정화시킬 수 있도록 $t^r$을 곱한 형태를 trial solution으로 둡니다. 우리는 이를 프로베니우스 방법(Frobenius Method)이라고 하고, 추후에 어떻게 사용하는지 살펴볼 것입니다.