12. 특이점에서의 변수계수를 갖는 2차 상미분방정식의 해와 프로베니우스 방법

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프로베니우스 급수와 프로베니우스 방법 (Frobenius Series and Frobenius Method)

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 어떠한 미분방정식은 갖고 있는 변수계수 때문에 특정 지점에 대해 해를 구하는 것은 어려울 수 있습니다. 특히 그 부분이 특이점(singular point)이라면 단순히 멱급수를 해로 가정하면 풀이할 수 없을 것입니다. 이 문제를 해결하기 위해 프로베니우스 급수(Frobenius Series)가 고안되었고, 이를 이용해서 미분방정식의 해를 구하는 것을 프로베니우스 방법(Frobenius Method)이라고 합니다.

 

프로베니우스 급수와 프로베니우스 방법 (Frobenius Series and Frobenius Method)

1) 프로베니우스 급수 (Frobenius Series)

미분방정식 $y’’+p(t)y’+q(t)y=0$이 있다고 해봅시다. 쉬운 설명을 위해서 $p(t), q(t)$에 대해 $t=0$이 singular, regular point라고 생각하겠습니다. 즉, $tp(t), t^2q(t)$는 $t=0$에서 해석적이며, 이는 급수로 나타낼 수 있는 상황에 대해서만 생각하겠음을 의미합니다.

주어진 미분방정식이 위의 조건들을 충족한다면 우리는 적어도 하나의 급수해(*)를 미분방정식의 해로 생각할 수 있으며, 이를 프로베니우스 급수(Frobenius Series)라고 합니다. 프로베니우스의 수학적 표현은 아래와 같습니다.

(*) 적어도 하나의 급수해를 얻는 다는 것은 때로는 2개의 선형독립인 해를 바로 얻을 수 없음을 의미합니다. 이는 추후에 논의할 결정방정식(indicial equation)의 해의 형태를 고려해야 할 필요가 있습니다.

 

2) 프로베니우스 방법 (Frobenius Method)

프로베니우스 급수를 이용해서 주어진 미분방정식의 해를 구하는 것을 프로베니우스 방법(Frobenius Method)라고 합니다. 이 방법을 사용하는 절차에 대해 얘기해보겠습니다. 우선 요약을 먼저 하고 각 단계를 어떻게 진행하는지 생각해보겠습니다.

 

Step 1 Trial Solution의 설정과 식의 정리 (Setting Trial Solution and rearranging equation)

Step 2 $r$의 결정과 해의 형태 판단 (Determinant of $r$ and the formula of the general solution)

 

각 단계를 살펴보겠습니다. 

 

Step 1 Trial Solution의 설정과 식의 정리 (Setting Trial Solution and rearranging equation)

다음과 같이 미분방정식이 주어졌다고 해보겠습니다.

이때 우리는 $y(t)$와 계수에 위치한 함수들을 급수로 설정합니다.

여기서 미분을 하더라도 index number에 변화가 없는 이유는 $r$때문입니다.

위의 항들을 주어진 미분방정식에 대입해서 식을 다시 작성할 수 있습니다.

 

Step 2 $r$의 결정과 해의 형태 판단 (Determinant of $r$ and the formula of the general solution)

위의 결과식을 $t^r$로 나누고 $a_n$에 대해 정리할 수 있습니다.

여기서 $a_0$은 반드시 0이 아니여야 합니다. 그렇기에 $a_0$의 계수에 위치한 다항식이 반드시 0이 되어야 합니다. 우리는 이를 결정방정식(indicial equation)이라고 정의합니다. 결정방정식은 $r$에 대한 2차식이므로 반드시 2개의 근을 갖습니다. 두 근의 형태에 따라 프로베니우스 급수로 두개의 독립인 해를 얻을 수 있는지, 아니면 단순히 하나의 해만 얻을 수 있는지 결정됩니다.

 

만약 프로베니우스 방법에 의해서 하나의 해만 얻었을 때에는 론스키안을 이용해서 또다른 독립해를 얻을 수 있습니다. 다만 그 방법이 복잡하기 때문에 기회가 있을 때 다루도록 하겠습니다.

 

프로베니우스 방법을 이용해서 해석할 수 있는 대표적인 미분방정식에는 베셀 방정식(Bessel Equaiton)이 있습니다. 이 방정식에 대해서도 다음에 다루어보겠습니다.