13. 라플라스 변환을 이용한 2차 선형 상미분방정식의 풀이

Contents

1. 라플라스 변환을 이용한 상미분방정식의 풀이 (Mechanism for Solving ODE with Laplace Transform)

2. 부분 분수 이론 (Partial Fraction Theory)

3. 라플라스 변환을 이용한 제차 2차 선형 상미분방정식의 풀이 (Solving Homogeneous 2nd ODE by Laplace Transform)

4. 라플라스 변환을 이용한 비제차 2차 선형 상미분방정식의 풀이 (Solving Nonhomogeneous 2nd ODE by Laplace Transform)

---

1차 ODE도 라플라스 변환을 이용해서 풀이할 수 있었습니다. 마찬가지로 2차 ODE도 라플라스 변환을 이용해서 풀이할 수 있습니다. 1차 ODE에서 미처 못한 얘기를 추가해서 이야기하도록 하겠습니다.

 

1. 라플라스 변환을 이용한 상미분방정식의 풀이 (Mechanism for Solving ODE with Laplace Transform)

1) 미정계수법, 역연산자법, 그리고 매개변수 변환법을 이용해서 2차 상미분방정식을 풀이할 수 있었습니다. 만약 라플라스 변환을 이용하면 적분이 아닌 대수적인 연산을 통해 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.

2) 2차 선형 ODE가 주어졌다고 생각해보겠습니다. 라플라스 변환과 도함수의 라플라스 변환 등을 이용하면 식을 정리할 수 있습니다.

이때 우리가 원하는 $y(t)$를 얻기 위해 $Y(s)$에 라플라스 역변환을 취해야 합니다. 하지만 현재 형태에서 바로 라플라스 역변환을 취하는 것에는 어려움이 있습니다. 그렇기 때문에 RHS에 있는 유리식들을 라플라스 역변환이 용이하도록 형태를 바꿔줘야 할 필요가 있습니다. 이를 위해서 유리식의 항등성에 생각해볼 필요가 있으며, 이를 부분 분수 이론(partial fraction theory)라고도 합니다.

 

2. 부분 분수 이론 (Partial Fraction Theory)

다음과 같은 유리함수(rational function)이 있다고 합시다.

$Q(x)$ 즉 분모의 형태에 따라서 식을 변환하는 방법이 달라집니다.

 

1) $Q(x)$가 서로 다른 실근을 갖는 1차식들의 곱일 때 (product of distinct linear factors)

2) $Q(x)$가 서로 반복되는 1차식들의 곱일 때 (product of repeated linear factors)

3) $Q(x)$가 허근을 갖는 2차 식을 포함하고 있을 때 (irreducible quadratic factors)

4) $Q(x)$가 허근을 갖는 2차 식을 갖고 있고 이 형태가 반복될 때

위의 원리들을 이용해서 라플라스 변환된 유리식을 역변환해서 원래의 형태를 얻어낼 수 있습니다. 많은 경험이 필요한 작업이지만, 변환-역변환 흔적을 찾고, 이를 찾도록 유리식을 변형하는 것이 중요합니다. 2차 상미분방정식을 풀이해보며 어떻게 접근해야 하는 지를 알아보겠습니다.

 

3. 라플라스 변환을 이용한 제차 2차 선형 상미분방정식의 풀이 (Solving Homogeneous 2nd ODE by Laplace Transform)

1) 제차 2차 상미분방정식의 라플라스 변환

제차 2차 상미분방정식에 라플라스 변환을 취해 대수방정식으로 바꾸어 보겠습니다.

$Y(s)$에 라플라스 역변환을 취할 때 오른쪽 유리식에도 똑같이 역변환을 취해야 할 것입니다. 분모의 $s^2+as+b$의 판별식의 부호에 따라 우리가 적용해야 할 부분 분수 이론이 달라집니다. 앞서 제차 상미분방정식을 풀이할 때 특성방정식의 판별식의 부호를 고려했습니다. 지금도 마찬가지로 분모에 위치한 $s$에 대한 2차 방정식의 판별식의 부호를 구분해야 합니다.

 

판별식 $D=a^2-4b$

 

2) 판별식의 부호를 고려한 라플라스 역변환 및 해 구하기

(1) $D>0$ Real, two distinct roots

$s^2+as+b$가 서로 다른 두개의 실근 $λ_1, λ_2$를 갖는다고 하면 아래와 같이 식을 정리할 수 있을 것입니다.

위의 결과에 라플라스 역변환을 취하면 우리가 원하는 해를 얻을 수 있습니다.

(2) $D<0$ Complex, two different roots

$s^2+as+b$가 서로 다른 두 허근을 갖습니다. 그렇기에 완전제곱식의 형태로 식을 변형해야 할 필요가 있습니다.

위와 같은 형태가 라플라스 변환-역변환에 들어오면 삼각함수나 쌍곡선함수를 사용하게 됩니다. 하지만 분모에서 차가 아닌 합으로 표현되어 있으므로 삼각함수의 라플라스 변환에 대해 먼저 생각해야 합니다. s축 이동정리를 이용해서 sin함수와 cos함수의 라플라스 변환에 대해 살펴보겠습니다.

이 관계를 이용하기 위해서 위에서 얻은 라플라스 변환된 다항식을 변형해야 합니다.

여기서 $A_1, A_2$는 결국 임의의 상수 이므로 항등관계에 의해서 $y(0), y’(0)$에 대해 표현될 것입니다. 짚고 넘어가야 할 점은 라플라스 변환의 흔적이 보일 때, 이를 이용하기 위해서 유리식을 변환할 수 있어야 한다는 것입니다. 마찬가지로 라플라스 역변환을 취해주면 우리가 원하던 미분방정식의 해를 얻을 수 있습니다.

(3) $D=0$ Double Roots

$s^2+as+b$가 완전제곱식 $(s+(a/2))^2$로 형태를 갖게 됩니다. 이를 이용해서 식을 변형할 수 있습니다.

s축 이동정리를 고려해서 라플라스 역변환을 취하면 원하던 해를 얻을 수 있습니다.

 

4. 라플라스 변환을 이용한 비제차 2차 선형 상미분방정식의 풀이 (Solving Nonhomogeneous 2nd ODE by Laplace Transform)

라플라스 변환을 이용해서 비제차 2차 선형 ODE는 어떻게 풀이하는지 그 과정을 살펴보도록 하겠습니다.

정리해보면, 제차 상미분방정식일 때의 유리함수와 특정해와 관련된 유리함수가 나오고, 이 유리식에 대해 라플라스 역변환을 취할 수 있어야 우리가 원하는 해를 얻을 수 있습니다. 이를 위해서는 라플라스 합성곱(convolution)을 이용해야 합니다.

라플라스 합성곱을 이용해서 $Y_p(t)$에 라플라스 역변환을 취하는 것을 살펴보겠습니다.