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스트룸-리우빌 연산자가 에르미트 연산자이기 때문에, 이 연산자의 성질을 공유할 것입니다. 그 중에서 에르미트 연산자의 고윳값 문제를 풀었을 때 얻은 고윳값은 항상 실수인 특성을 스트룸-리우빌 연산자에서도 동일하게 나타나는 것을 보일 것입니다.
스트룸-리우빌 연산자도 고윳값 문제로 생각할 수 있습니다. 이를 식으로 나타내면 아래와 같습니다.
우리가 보이고자 하는 고윳값은 위의 관계에서 확인할 수 있습니다. 이 문제를 풀어서 얻은 고윳값이 실수라는 것을 뜻합니다, 이제 증명을 시작하겠습니다.
<증명>
스트룸-리우빌 연산자는 자기수반성을 갖고 있습니다. 이로부터 증명을 시작할 수 있습니다.
증명을 이어나가기 위해 내적을 표현해보겠습니다. 그리고 고윳값 문제 관계를 이용해서 식을 변형했습니다.
이와 비슷하게 오른쪽 항의 내적도 표현할 수 있습니다.
이제 두 내적 결과가 같음을 이용하여 관계성을 살펴보겠습니다.
같은 고유함수(eigenfunction)에 대한 내적 결과는 0이 될 수 없습니다. 그렇기에 고윳값과 그 켤레의 형태가 같아야만 자기수반성이 설명됩니다. 어떠한 값과 그의 켤례형태가 동일하다는 것은 해당 값이 실수(real)임을 의미합니다. 따라서 스트룸-리우빌 연산자에 대한 고윳값은 항상 실수인 것을 알 수 있습니다.
증명과는 별개의 이야기이지만, 어떠한 연산자의 고윳값이 실수인 사실은 물리에서 중요한 특성 중 하나입니다. 어떠한 함수의 연산자를 취하는 것은 특정 함수로부터 원하는 정보를 특정하여 관측하겠다는 것을 의미합니다. 실제 우리가 관측하는 정보들은 모두 실수인데, 만약 연산자의 결과가 허수라면 현상을 이해하는데 어려움이 생길 것입니다. 그렇기에 이용하고자 하는 연산자가 에르미트 연산자임을 알고 있다면 이를 관측에 적극적으로 사용할 수 있다는 이점이 있습니다.