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에르미트 연산자에 대한 고윳값 문제를 풀면, 서로 직교하는 고유함수들을 얻을 수 있습니다. 스트룸-리우빌 연산자도 동일한 특성을 갖고 있습니다. 이를 증명하고 직교성을 이용해서 어떤 구간 내의 함수를 고유함수의 선형조합으로 표현하는 방버에 대해 살펴보겠습니다.
고윳값 문제를 해결하면 고윳값과 이에 해당하는 고유함수를 구할 수 있습니다. 연산자의 종류에 따라 고유함수의 특성이 달라지는데, 에르미트 연산자에 대한 해는 서로 직교하는 특성이 있습니다. 앞서 스트룸-리우빌 연산자의 자기수반성 증명을 통해 이 연산자도 에르미트 연산자로 생각할 수 있으며, 그렇기에 스트룸-리우빌 연산자의 해도 서로 직교할 것이라고 예상할 수 있습니다. 이를 간단하게, 그리고 실제 내적을 통해 식을 조정해보면서 증명해보도록 하겠습니다.
<증명 1> 고윳값 문제를 이용한 고유함수의 직교성 증명
서로 다른 두 고윳값에 대해, 그리고 고유함수에 대해 생각해보겠습니다. 연산자의 자기수반성을 이용해서 식을 표현했습니다. 고윳값-고유함수 관계를 이용해서 식을 마저 전개해보겠습니다.
두 고윳값은 서로 다르기에 내적의 결과가 0이 되어야 합니다. 이는 결국 두 고유함수가 서로 직교함을 의미합니다.
위의 증명은 고윳값 문제 관계를 이용해서 고유함수의 직교성을 증명한 것입니다. 내적을 전개하고, 식을 변형해보면서 직교성을 다시 한 번 증명해보도록 하겠습니다.
<증명 2> 내적을 전개, 변형해서 보이는 고유함수의 직교성
어떤 두 함수가 직교한다면, 내적의 결과는 0일 것입니다. 우선 고윳값 $\lambda$에 대한 고유함수를 이용해서 식을 변형해보겠습니다.
의 식을 내적 형태로 바꾸기 위해 식을 변형하겠습니다.
처음 시작을 $\lambda$에 대한 고유함수로부터 내적을 표현했습니다. $\mu$에 대한 고유함수로부터도 식을 전개할 수 있으며, 이를 나타내면 다음과 같습니다.
두 내적 사이의 관계를 표현하기 위해서 (*)과 (**)의 차이를 구해보겠습니다.
스트룸-리우빌 연산자의 자기수반성을 증명할 때와 비슷한 결과를 얻을 수 있습니다. 어떤 특정 수치는 결국 경계 조건에 의해서 소거되고, 그래야 내적의 결과가 0인 것을 얻을 수 있습니다. 경계조건의 대입을 통한 항의 처리는 생략하고, 증명을 마무리해보겠습니다.
<증명 1>과 결국 내용이 비슷합니다. 서로 다른 고윳값의 차가 0이 될 수 없으니 반드기 고유함수 사이의 내적이 0이 되어야 하는 것을 알 수 있습니다. 이는 두 고유함수가 서로 직교한다는 것을 뜻합니다.
한편, 고유함수의 직교성을 이용하면 경계조건을 만족하는 함수를 고유함수의 선형조합으로 표현할 수 있습니다.
고유함수의 선형조합으로 경계조건을 만족하는 함수를 표현할 수 있고, 내적을 이용해서 고유함수의 계수를 결정할 수 있습니다. 이 특성을 증명해보겠습니다.
어떤 함수를 고유함수의 내적으로 표현했을 때, 내적을 통해서 특정 계수만을 남길 수 있습니다. 그렇기에 함수를 스트룸-리우빌 연산자에 대한 고유함수들의 조합으로 표현할 수 있습니다.
아마 공학수학 또는 수리물리학을 공부한 분들이라면 위의 식과 유사한 형태를 푸리에 급수에서 살펴볼 수 있었을 것입니다. 푸리에 급수도 가중치가 1인 내적을 이용한 고유함수의 조합을 이용한 것이기 때문입니다.