2-7 열린계에서의 물질수지와 질량수지 (Mass and Energy Balance for Open System)

 

Contents

1. 흐름의 측정과 물성 사이의 관계 (Measurement of Flow and Relationship between Properties)

2. 열린계에서의 물질 수지 (Mass Balance for Open System)

3. 열린계에서의 에너지 수지 (Energy Balance for Open System)

 

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1. 흐름의 측정과 물성 사이의 관계 (Measurement of Flow and Relationship between Properties)

1) 화학공정에서의 흐름

어떠한 공정에서 물질의 흐름을 측정한다는 것은 단위시간당 흐르는 물질의 property를 측정함을 의미합니다. 대개 00유속이라는 말로 표현하며, 영어로는 00 flow rate라고 합니다. 흐름을 표현하고자 하는 property에 $\dot{}$을 붙여 표현하나, 속도의 경우는 많이 사용하던 흐름이기에 그냥 표현합니다.

EX

질량유속 (mass flow rate) : $\dot{m}$

몰유속 (molar flow rate) : $\dot{n}$

속도 (velocity) : $u$

2) flow rate property 사이의 관걔

흐름 물성 사이의 관계를 표현할 수 있어야 공정을 보다 효과적으로 표현할 수 있습니다. 

① 몰, 질량, 분자량 사이의 관계

몰, 질량, 분자량 사이의 관계는 고등학교 화학부터 많이 사용되었습니다. 흐름이 아닐 때의 관계에서 rate만 표현해주면 됩니다.

\[\dot{m}=M\dot{n}\Rightarrow M=\frac{\dot{m}}{\dot{n}}=\frac{m}{n}\,\,\,(1)\] 

② 질량, 밀도, 부피 사이의 관계

질량, 밀도, 부피 사이의 관계도 몰, 질량, 분자량 사이의 관계와 같은 방법으로 얻을 수 있습니다.

\[\dot{m}=\rho q\Rightarrow \rho=\frac{\dot{m}}{q}=\frac{m}{V}\,\,\,(2)\]

③ 파이프에서의 유속 표현

 

단면적이 $A$로 일정한 파이프에서, 해당 단면적으로 속도 $u$로 지나고 있는 flow에 대해서도 관계성을 얻을 수 있습니다. 속도의 차원$L/T$와 단면적의 차원$L^2$의 곱은 $L^3/T$이며, 이는 부피의 유량($q$)으로 표현될 수 있기 때문입니다.

$q=Au$ (3)

한편, 질량 밀도(specific density, $\rho$) 또는 몰 밀도(molar density, $\hat{\rho}$)를 이용하면 부피 유속으로부터 질량 또는 몰 유량도 얻을 수 있습니다.

$\dot{m}=\rho q=\rho A u$ (4)

$\dot{n}=\hat{\rho}q=\hat{\rho}A u$ (5)

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2. 열린계에서의 물질 수지 (Mass Balance for Open System)

1) 검사체적 (Control Volume, CV)

검사체적은 물질의 출입을 고려하는 공간을 의미합니다. 시간에 대해 물질이 유입/유출 되므로 시간이 지남에 따라 CV내에 들어온 물질이 축적될 수도, 혹은 기존에 있던 물질이 유출될 수 있습니다. 따라서 검사체적으로 고려한 공간은 시간에 대해 질량이 변할 수 있으며, 열린계라는 것을 알 수 있습니다.

2) 물질수지 (Mass Balance)

검사체적에 대한(또는 열린계에 대한) 물질수지식을 작성해보도록 하겠습니다. 혹시 여기서 사용하는 표현이 어색하다면, 기존에 포스팅한 닫힌계에서의 물질/에너지수지 글을 한번 읽어보신다면 도움이 될 것입니다. 닫힌계에서의 물질수지식과 마찬가지로 반응이 진행되지 않는 검사체적에 대해 논의할 것입니다.

물질수지식을 이용해서 식을 유도하면 아래의 식을 얻을 수 있으며, 자세한 유도과정은 더보기에 서술해두었습니다. (fs: fluid stream)

$\frac{dm_{CV}}{dt}+\Delta \dot{m}_{fs}=0$ (6)

그리고 식 (4)에서 얻은 표현을 이용하면 식 (6)을 밀도 등을 이용해서 표현할 수 있습니다.

$\frac{dm_{CV}}{dt}+\Delta (\rho u A)_{fs}$ (7)

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물질수지식도 결국 수지식을 작성해야 하는 것이기 때문에, 기존에 살펴봤던 관계식을 살펴보겠습니다.

$I+G=O+C+A$ (1')

이때, 반응은 일어나지 않는다고 가정했으므로 생성되는 양($G$)과 소비되는 양($C$)은 무시되기에 식을 정리해서 표현할 수 있습니다.

$I=O+A\rightarrow A+(O-I)=0$ (2')

지금 생각하고 있는 상황에서 A는 시간이 지남에 따라 검사 체적의 질량 변화($\frac{}{}$)를 의미하며, I는 검사체적으로 들어오는 질량유속($\dot{m}_1,\dot{m}_2$)을, O는 검사체적으로부터 나오는 질량유속($\dot{m}_3,\dot{m}_4$)을 의미합니다.

$\frac{dm_{CV}}{dt}+(\dot{m}_3+\dot{m}_4)-(\dot{m}_1+\dot{m}_2)=0$ (3')

한편, 어떤 대상의 변화량($final-initial=Output-Input$)을 쉽게 표기하기 위해서 $\Delta$를 사용합니다. 유출/유입의 개수가 여려개이므로, fluid stream의 약자 fs를 아래첨자로 하여 식 (3')을 정리할 수 있습니다.

$\frac{dm_{CV}}{dt}+\Delta\dot{m}_{fs}=0$ (4') 

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3) 정상상태에서의 물질수지 (Mass Balance for Steady State)

특별한 식의 변형 없이 주어진 물질수지식을 풀어야 하면 미분방정식 등 다소 복잡한 계산이 필요합니다. 하지만, 적절한 가정을 통해 공정이 정상상태(steady state)를 따른다고 생각할 수 있으면, 이 식을 단순한 대수방정식으로 풀이할 수 있게 됩니다. (즉, 사칙연산을 이용해서 물질수지식을 풀이할 수 있게 됨을 뜻합니다.) 정상상태(steady state)는 시간이 지남에 따라 CV에 변화가 없는 상태를 의미합니다. 즉, $I=O$인 것을 관측하게 된다면, 이 CV는 정상상태 하에서 공정을 진행한다고 생각할 수 있습니다. 

4) 특이 case : 정상상태 하에서 작동되는 single inlet-outlet CV

위에서 얻은 물질수지식은 일반적인 상황을 생각하고 식을 유도한 것입니다. 어떠한 CV는 유입/유출되는 pipe 등이 하나씩만 있는 경우가 있습니다.

정상상태이므로 $A=0$이기 때문에 아래의 관계가 성립합니다.

$\dot{m}_1=\dot{m}_2=\dot{m}_{tot}\equiv\dot{m}$ (8)

이를 이용하면 유입/유출이 되는 파이프의 관계식을 얻을 수 있습니다. (자세한 유도과정은 더보기에 서술해두었습니다.)

$\frac{u_1A_1}{V_1}=\frac{u_2A_2}{V_2}\Rightarrow \frac{uA}{V}=const$ (9)

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식 (8)에서 $In,Out$에 대한 식과 식 (4)을 조합하면 아래의 식을 얻을 수 있습니다.

$\rho_1 u_1 A_1=\rho_2 u_2 A_2$ (1')

한편, $\rho=\frac{m}{V}$이므로 이를 식 (1')에 대입해서 정리할 수 있습니다.

$\frac{u_1A_1}{V_2}\dot{m}_1=\frac{u_2A_2}{V_2}\dot{m}_2\rightarrow \frac{u_1A_1}{V_1}=\frac{u_2A_2}{V_2}$ (2')

즉, inlet과 outlet에 대해서 $\frac{uA}{V}$가 일정하다는 것을 알 수 있습니다.

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3. 열린계에서의 에너지 수지 (Energy Balance for Open System)

1) 열린계에서 진행되는 화학공정에서의 일반적인 energy balance equation

이제 열린계에서의 에너지수지를 작성해보도록 하겠습니다. 우선 열린계의 에너지 출입 상황을 표현해보겠습니다. (표현의 편의를 위해 그림상으로는 single inlet-outlet으로 생각했습니다.)

에너지 손실이 없었다는 가정 하에(i.e. $E_{input}=E_{output}$), 에너지 수지식을 작성하면 아래의 결과를 얻을 수 있습니다. 자세한 유도과정은 더보기에 서술해두었습니다.

$\frac{d(mU)_{CV}}{dt}+\Delta[\dot{m}(H+\frac{1}{2}u^2+gz)]_{fs}=\dot{Q}+\dot{W}_s$ (10)

여기서 $\dot{W}_s$는 CV에 달려있는 펌프 같은 장치가 수행하는 축일(shaft work)를 의미하며, 유체 하는 일($W_{fluid}=pV$)와는 구별됩니다. 

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에너지 수지식을 작성할 때에도 일반적인 수지식으로부터 시작합니다. 반응이 일어나는 경우를 생각하지 않기에 수지식을 작성할 수 있습니다. 

$I=O+A\rightarrow A=-(O-I)=-\Delta E$ (1')

한편, system으로의 에너지 축척을 생각할 때, 에너지의 변화와 CV의 boundary를 통해 일 또는 열의 에너지가 전달되는 것도 고려해야 합니다. (CV는 열린계이기 때문입니다.) 예를 들어 system으로부터 일/열의 형태로 에너지가 많이 유출된다면 에너지가 손실될 것입니다. 식 (1')에서 Q와 W를 반영해서 system의 에너지 변화량을 작성할 수 있습니다.

$A=\frac{d(mU)_{CV}}{dt}=-\Delta E_{fs}+\dot{Q}+\dot{W}$ (2')

이제 에너지($E_{fs}$)가 어떻게 구성되어있는지를 살펴보겠습니다. 닫힌계의 열역학 제 1법칙에서 생각했듯, 어떤 system의 에너지는 내부에너지, 운동에너지, 그리고 위치에너지로 구성이 되어있습니다. 이를 반영하여 에너지를 작성할 수 있습니다.

$-\Delta E_{fs}=-\Delta[(U+\frac{1}{2}u^2+gz)\dot{m}]_{fs}$ 

$=-\{\dot{m}_1(U_1+\frac{1}{2}u_1^2+gz_1)-\dot{m}_2(U_2+\frac{1}{2}u_2^2+gz_2)\}$  (3')

식을 완성하기 전에 일(work)의 구성에 대해 살펴볼 필요가 있습니다.

$\dot{W}=\dot{W}_{fluid}+\dot{W}_s+\dot{W}_{etc}$ (4')

- 축일(shaft work, $\dot{W}_s$)

: 터빈/펌프 등 CV에 의해 수행되는 일

- 유동일(fluid work, $\dot{W}_{fluid}$)

: 유체가 가해져있는 압력을 밀어내면서 수행하는 일 (closed system이 가해져있는 압력에 대해 일을 수행한 상황을 생각해볼 수 있습니다.) 

: 유입되는 흐름에 가해지는 압력과 유출되는 흐름에 가해지는 압력이 서로 같다는 보장이 없기에, 그리고 부피의 흐름이 같다는 보장을 할 수 없습니다. 그 정도를 표현하기 위해 유동일을 압력과 부피를 이용해서 표현할 수 있습니다.

$\dot{W}_{fluid}=-\{\dot{W}_{outlet}-\dot{W}_{inlet}\}=-\Delta\{(pV)\dot{m}\} $ (5')

식에 -를 붙인 이유는, system에 가해진 유동일에 대해 고려하고 싶었기 때문입니다.  

- 기타($\dot{W}_{etc}$) : CV의 팽창/수축 등으로 진행하는 일. 화학공정에서는 CV가 거의 팽창이 되지 않기 때문에 이러한 형태의 일은 무시하겠습니다.

식 (2')와 식(3'), 그리고 식 (5')를 종합하면 열린계에서의 에너지 수지식을 얻을 수 있습니다. 

$\frac{d(mU)_{CV}}{dt}=-\Delta[\dot{m}(U+pV+\frac{1}{2}u^2+gz)]_{fs}+\dot{Q}+\dot{W}_s$ (6')

이때 엔탈피의 정의 $H=U+pV$를 이용해서 식 (6')을 간단하게 표현할 수 있습니다.

$\frac{d(mU)_{CV}}{dt}+\Delta[\dot{m}(H+\frac{1}{2}u^2+gz)]_{fs}=\dot{Q}+\dot{W}_s$ (7')

 

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2) 열린계에서 작성된 energy balance equation의 변형

① 운동에너지와 위치에너지의 무시

화학공정에서 대부분 CV는 움직이지 않기 때문에 위치에너지와 운동에너지가 무시되는 경우가 많습니다. 이를 이용해서 식 (10)을 다시 쓸 수 있습니다.

$\frac{d(mU)_{fs}}{dt}+\Delta[\dot{m}H]_{fs}=\dot{Q}+\dot{W}_s$ (11)

② 정상상태에서의 에너지 수지식

정상상태인 경우 system에서의 에너지 변화가 없기 때문에 $A=\frac{d(mU)_{CV}}{dt}=0$을 두고 식을 작성할 수 있습니다. 

$\Delta[\dot{m}(H+\frac{1}{2}u^2+gz)]_{fs}=\dot{Q}+\dot{W}_s$ (12) 

③ 정상상태, single inlet-outlet 일 때의 에너지 수지식

이 상황에서는 질량보존이 성립하므로 $\dot{m}$을 나누어 표현할 수 있습니다.

$\Delta(H+\frac{1}{2}u^2+gz)=Q+W_s$ (13)

한편, 엔탈피의 변화에 비교했을 때 위치에너지와 운동에너지의 변화량은 매우 작기 때문에 무시한 채 식을 작성할 수 있습니다.

$\Delta H=Q+W$ (14)

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요약

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