1. 상미분방정식의 형태 및 문제풀이 접근방법

Contents

1. 선형 상미분방정식 (Linear ODE)

2. 상미분방정식의 일반해 (General Solution of ODE)

3. 초기조건(Initial Condition, IC)과 경계조건(Boundary Condition, BC)

4. 미분방정식의 해 구하기 (Solving ODE)

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미분방정식은 화학공학에서 빼놓을 수 없는 수학적 도구입니다. 아무리 식을 잘 세워놓았더라도 미분방적식을 풀이할 수 없다면 문제 상황에서의 해답을 찾을 수 없습니다. 개념설명과 문제풀이를 바탕으로 미분방정식에 대해 공부해고자 합니다.

 

1. 선형 상미분방정식 (Linear ODE)

미분방정식에 하나의 변수만 개입되어 있을 때, 우리는 이 미분방정식을 상미분방정식(Ordinary Differential Equation, ODE)라고 합니다. 그 중에서 선형 미분방정식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

forcing function이 0일 때 우리는 이를 제차상미분방정식(Homogeneous ODE)라고 합니다. 만약 그렇지 않은 경우에는 이 미분방적식을 비제차상미분방정식(Inhomogeneous ODE)라고 합니다.

 

2. 상미분방정식의 일반해 (General Solution of ODE)

1) 제차상미분방정식의 일반해

제차상미분방정식은 미분방정식으로부터 얻어지는 해들의 선형조합으로 일반해를 얻을 수 있습니다.

2) 비제차상미분방정식의 일반해

비제차상미분방정식은 해당 미분방정식이 제차였을 때 얻어지는 해와 비제차일 때 얻을 수 있는 특수해의 선형조합으로 일반해를 표현합니다.

3. 초기조건(Initial Condition, IC)과 경계조건(Boundary Condition, BC)

우리가 얻는 미분방정식과 그 일반해는 대개 지배방정식(Governing Equation)인 경우가 많습니다. 즉 보편적으로 나타나는 현상들을 설명할 수 있는 수식임을 의미합니다. 하지만 공학에서는 이러한 문제들을 자신의 상황에 맞게 적용해서 결과를 얻어야 합니다. 그래야 해당 문제를 정량적으로 풀어낼 수 있습니다. 그래서 미분방정식의 적합해를 끌어내기 위해서 초기조건 또는 경계조건이 필요합니다. 구체적으로 문제풀이를 시작할 때 자세히 살펴보겠습니다.

 

4. 미분방정식의 해 구하기

상미분방정식은 2가지 관점에서 해를 구할 수 있습니다  

1) 미분방정식의 해를 직접 구하는 경우

대개 알려져 있는 미분방정식의 경우 문제를 푸는 순서가 정해져 있습니다. 즉 공식 등에 대입해서 문제를 바로 풀이할 수 있습니다.

2) 라플라스 변환을 이용해서 해를 구하는 경우

1)의 방법으로 문제를 풀이하면 적분 연산이 필수적인데, 이는 번거로움을 동반합니다. 그래서 라플라스 변환을 이용해서 미분된 형태의 식을 대수방정식(Algebric Equation, AE)로 변환해서 식을 정리한 후 다시 라플라스 역변환을 통해 해를 구할 수 있습니다.

우선 주어진 미분방정식에 라플라스 변환을 취해줍니다. 그 후 식을 정리해서 라플라스 변환이 취해준 해와 나머지 항들을 분리해서 적어줍니다.

 그 후 라플라스 역변환을 취해서 다시 원래 구해야 하는 해를 얻을 수 있습니다.