화공노트: 화학공학 살펴보기

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타원형 편미분방정식의 2번째 예시입니다. 2차원에서의 열전도, 그 중에서도 한 방향으로 매우 긴 평면에서의 열전도에 대해 다루어보겠습니다.

2차원 타원형 편미분방정식 (1) 매우 긴 평면에서의 열전도 (2D Elliptic PDE: Conduction on Infinitely Long Thin Plane)

문제 상황은 다음과 같습니다.

$y$ 방향으로 매우 긴 평면에서 어떻게 전도가 일어나는지 살펴보는 문제입니다.

우선 경계조건을 살펴보겠습니다. $x$ 방향에 대한 경계조건은 제차의 형태를 따르고 $y$ 방향에 대한 경계조건은 비제차인 것으로 보입니다. 그렇기에 $x$ 방향에 대해 고유함수를 구하고, 나중에 $y$ 방향에 경계조건으로 고유함수의 계수를 결정지으면 될 것 같습니다.

변수분리법으로 문제 풀이를 시작하겠습니다.

Step 1 변수분리법을 위한 변수의 분리

온도가 각각 $x$와 $y$의 조합으로 표현될 수 있다고 생각하고 식을 다시 정리할 수 있습니다. $x$와 $y$에 관한 식을 얻을 수 있는데 이는 둘 다 일정해야 합니다. 경계조건도 다시 작성됩니다.

우리가 원하는 것은 자명하지 않은 해(nontrivial solution)입니다. 값이 0으로 나타나는 해 또는 조건을 원하지 않습니다. 이를 이용해서 각 변수에 대해 조건을 다시 작성했습니다.

Step 2 고윳값$\lambda$과 고유함수 찾기

2개의 상미분방정식에 대해 자명하지 않은 해가 존재하기 위한 고윳값을 찾아야 합니다. 이를 위해 고윳값의 부호마다 해가 존재할 수 있는지 살펴봐야 합니다.

이때 x에 대해 고윳값을 결정하고 고유함수를 찾을 것입니다. 왜냐하면 y는 비체자 경계조건을 갖고 있기 때문입니다.

X에 대한 식은 2차 선형 상미분방정식이며, 이는 특성방정식(characteristic equation)을 이용해서 풀이할 수 있습니다.

고윳값이 양수일 때부터 살펴보겠습니다.

(1) 고윳값이 양수일 때 $\lambda > 0$

경계조건을 편하게 적용하기 쉽게 쌍곡선함수(Hyperbolic Function)를 이용해서 식을 정리했습니다. 실제로 조건을 대입해본 결과 두 계수 A, B가 모두 0이 되며 이는 0만 해가 될 수 있음을 의미합니다. 따라서 고윳값이 양수일 때는 자명한 해(trivial solution)밖에 얻지 못하므로 다른 경우를 생각해야 합니다.

(2) 고윳값이 0일 때 $\lambda = 0$

고윳값이 0으로 중근을 가지면, 라그랑쥐의 차수축소법(Reduction of Order)을 사용해서 새로운 해를 얻을 수 있습니다. 여기에 경계조건을 적용하면 계수 A, B가 모두 0입니다. 따라서 이 경우도 우리가 원하는 고윳값이 될 수 없음을 알게됩니다.

(3) 고윳값이 음수일 때 $\lambda < 0$

해를 얻고 오일러 항등식(Euler’s Identity)을 이용해서 삼각함수로 해를 다시 작성한 것입니다. 경계조건을 대입해봤을 때 코사인함수에 대한 계수는 0이지만, 사인함수는 그 자체로 0이 될 수 있으므로 자명하지 않은 해를 얻을 수 있습니다.

사인함수가 0이 될 수 있는 상황을 생각해서 풀이하면, 이 스트름-리우빌 문제에 대한 고윳값과 고유함수를 얻을 수 있습니다.

Step 3 $Y(y)$ 결정하기

Step 2에서 찾은 고윳값을 이용해서 $y$에 대한 고유함수도 얻을 수 있습니다.

모든 경계조건을 적용할 필요는 없습니다. 결국 마지막에 고유함수에 대한 계수를 결정할 때 사용해야 하기 때문입니다. 다만 $y$가 무한대로 갈 때의 경계조건이 0, 즉 수렴하기 위해서는 계수 $C$가 0이 되어야 하며, 이를 반영해서 고유함수를 얻을 수 있습니다.

Step 4 각 변수에 대한 해의 조합

문제를 통해 $x, y$에 대한 해를 얻었으므로, 원래의 해를 찾기 위해 다시 조합할 수 있습니다. 하지만 고유함수에 대한 조합은 특정 $n$에 대한 해이므로, 일반화된 해를 찾기 위해 시그마를 취해줍니다.

이제 마지막 단계로 다가갑니다. 과연 고유함수에 대한 계수를 어떻게 정의해야 하는지에 대해서 말이죠.

이는 남은 경계조건의 사용, 그리고 내적으로 보이는 고유함수의 직교성을 활용해서 얻을 수 있습니다.

Step 5 고유함수의 계수 $E _n$결정

문제를 구하기 위해 사용하지 않은 경계조건을 활용합니다. 그리고 식을 정리하기 위해 내적을 취합니다. 고유함수의 직교성 때문에 자기 자신에 대한 내적을 제외한 항들은 모두 0으로 소거된 결과를 얻을 수 있습니다. 이를 정리하면 다음과 같습니다.

이제 분수, 분모를 계산해서 계수를 구체화할 수 있습니다.

특별할 것 없는 계산이지만, 코사인함수에 대한 식이 n에 따라 특정 값을 따르는 것을 이용해서 식을 단순하게 만들 수 있습니다.

삼각함수의 반각공식으로 알려진 관계를 이용하면 식을 정리할 수 있습니다.

Step 7 해의 결정

각각에 대한 고유함수, 그리고 해를 알게 되었으므로 문제에서 구하라는 $x, y$에 대한 온도 분포를 알 수 있게 되었습니다. 계산 결과는 아래와 같습니다.

타원형 편미분방정식의 두 번째 예제인 매우 긴 평면에서의 열전도를 살펴봤습니다. 다음 예제는 크기가 정해져 있는 평면에서의 열 전도의 결과로 어떠한 온도 분포가 나오는지를 살펴보도록 하겠습니다.

감사합니다.