화공노트: 화학공학 살펴보기

Contents

1. 2차 선형 상미분방정식의 형태 (the Formulation of 2nd order Linear ODE)

2. 2차 선형 미분방정식의 해의 존재성(Existence)과 유일성(Uniqueness)

3. 2차 상미분방정식의 해의 형태

4. 선형조합과 선형독립 (Linear Combination and Linear Independence)

2차 상미분방정식은 매우 중요합니다. 고전역학에서 속도-가속도 관계를 동시에 표현할 때 2차 선형 상미분방정식 형태를 얻을 수 있습니다. 그리고 많은 편미분방정식을 풀이하기 위해서 2차 상미분방정식을 풀 수 있어야 합니다. 그래서 2차 상미분방정식에 대해서는 조금 자세하게 다룰 필요가 있습니다. 그 중에서도 2차 선형 상미분방정식에 대한 개념을 전반적으로 살펴보도록 하겠습니다.

1. 2차 선형 상미분방정식의 형태 (the Formulation of 2nd order Linear ODE)

2차 선형 상미분방정식의 형태를 상미분방정식의 일반형태로부터 이끌어낼 수 있습니다.

1차 ODE처럼 2차 ODE도 forcing function $r(t)$의 유무에 따라 제차인지 비제차인지 구분됩니다.

2. 2차 선형 미분방정식의 해의 존재성(Existence)과 유일성(Uniqueness)

주어진 미분방정식을 풀이하는 것은 중요합니다. 강의를 들을 때 나오거나 전공서적에 나와있는 문제들은 모두 답이 나오도록 잘 짜여 있습니다. 만약 모델링을 거쳐 미분방정식을 얻어냈을 때, 해당 미분방정식의 해가 존재하는지 그리고 그 해를 유일하게 결정할 수 있는지를 알 필요가 있습니다. 존재성과 유일성은 증명이 가능한 성질이나, 우선 어떤 조건에서 해가 존재하고 또 유일할 수 있는지에 대해 살펴보고자 합니다.

1) 해의 존재성 (Existence)

2차 ODE에서 계수로 취해진 함수 ($p(t), q(t), r(t)$)가 미분방정식이 정의된 구간 $I$에서 연속일 때 해가 존재한다고 생각할 수 있습니다.

2) 해의 유일성 (Uniqueness)

2차 ODE에서 초기조건 $IC$가 다음과 같이 제시되어 있다면 해당 미분방정식은 1개의 유일한 해 (적합해)를 갖습니다.

즉 초기 조건이 2개는 제시되어야 해가 유일하게 결정됩니다. 이는 미분을 하면 정보량이 줄어들고, 반대로 적분을 하면 정보량이 증가하기 때문입니다.

3. 2차 상미분방정식의 해의 형태

1) 제차 상미분방정식의 해의 형태

제차 2차 선형 상미분방정식의 경우 자명한 해를 두어 ODE의 해를 구할 수 있습니다. 자세한 방법은 추후에 살펴보도록 합시다. 그 결과 얻어낸 두 해는 서로 일차독립(linearly independent)이여야 하고, 제차 미분방정식에서의 해는 그 둘의 선형조합(linear combination)으로 결정합니다.

2) 비제차 상미분방정식의 해의 형태

비제차 2차 선형 상미분방정식도 해를 얻을 수 있습니다.

이때 $y_h$는 $r(t)=0$으로 두고 해를 구하는 것입니다. 그리고 $y_p$는 차수비교법, 역연산자법, 그리고 매개변수 변환법을 이용해서 구할 수 있습니다. 마찬가지로 추후에 살펴보도록 하겠습니다.

4. 선형조합과 선형독립 (Linear Combination and Linear Independence)

2차 상미분방정식부터는 해의 기저들을 구하고, 이를 더하는 방식으로 해를 결정합니다. 선형조합, 선형독립, 선형종속에 대해 알아야 합니다.

1) 선형조합 (Linear Combination, Superposition)

선형조합은 기저들을 더하는 것을 얻을 수 있고 수학적으로는 아래처럼 표현합니다.

2) 선형독립과 선형종속 (Linear Independence and Linear Dependence)

선형독립과 선형종속은 선형조합에서 사용된 기저해($y_k$)의 일차독립성을 판단하는 것입니다. 만약 선형조합이 0일 때 기저해의 계수들이 어떠한 형태로 나타나는 지에 따라 선형독립인지 아닌지 결정됩니다. 수학적으로는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

이해가 안 될 수 있으니 예시를 통해 설명해드리겠습니다.

어떠한 3개의 기저해가 있을 때 이를 적당히 더해서 0을 만들 수 있습니다. 즉, 선형조합이 0이 될 때 모든 계수 $c_k$가 0이 되지 않는 조합이 존재하므로 세 함수는 선형종속임을 알 수 있습니다.

선형독립성을 분석해야 하는 함수의 개수가 적으면 적당한 조합으로 그 독립성을 판단하기 쉽습니다. 하지만 해의 형태가 단순한 다항식이 아니거나, 분석해야 하는 함수들의 해수가 너무 많을 때에는 독립성을 판단할 때 실수하기 쉽습니다. 그래서 다른 수학적 도구를 이용해서 선형독립을 판단합니다.

3) 론스키안(Wronskian)

어떠한 구간 $I$에 대해 정의된 $(n-1)$번 미분가능한 해 ${y_1, y_2,⋯,y_n}$에 대해 다음과 같은 수학적 표기를 할 수 있습니다.

이때 우리가 정의한 행렬 $W$를 론스키안(Wronskian)이라고 합니다.

그리고 행렬 A에 따라서 선형독립과 선형종속이 결정됩니다.

즉, 주어진 해들이 선형종속일 때 론스키안의 Determinant가 0인 것을 결정할 수 있으며, 우리는 명제의 논리를 이용해서 다음의 결과를 얻을 수 있습니다.

즉, $det(W)$이 0이 아니라면 우리는 얻어낸 해를 바로 사용할 수 있음을 의미합니다.

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1. 라플라스 변환을 이용한 제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이

2. 라플라스 변환을 이용한 비제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이

미분방정식 풀이과정을 따르지 않더라도 1차 상미분방정식을 풀이할 수 있습니다. 라플라스 변환을 이용해서 대수식을 정리하고 다시 라플라스 역변환을 이용하면 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.

1. 라플라스 변환을 이용한 제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이

예시를 통해서 라플라스 변환을 이용해서 ODE를 풀어내는 방법을 살펴보겠습니다.

EX

우선 각 항에 라플라스 변환을 취해서 식을 대수 영역으로 전환해줍니다.

그 후 라플라스 변환이 취해진 해에 대해 식을 다시 정리할 수 있습니다.

우리가 원하던 해는 대수방정식의 해가 아니라 미분방정식의 해이기 때문에 위의 결과에 라플라스 역변환을 취해줍니다. 그러면 미분방정식의 해를 얻을 수 있습니다.

2. 라플라스 변환을 이용한 비제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이

제차 미분방정식을 풀이할 때와 마찬가지로 라플라스 변환을 취하고, 라플라스 변환된 해에 대해 식을 정리할 수 있습니다.

정리된 식의 형태를 살펴보면 homogeneous 일 때의 해($Y_h(s)$)와 특수해($Y_p(s)$)의 조합인 것을 확인할 수 있습니다. 이제 라플라스 역변환을 취하면 미분방정식의 해를 구할 수 있을 것입니다.

이해를 위해 예시를 살펴보겠습니다.

EX

우선 라플라스 변환을 취해서 대수방정식을 얻은 후 식을 정리합니다.

이제 라플라스 역변환을 취해 식을 정리해주어야 하는데, 이를 위해서 식을 재정리할 필요가 있습니다. 보통 라플라스 역변환을 위한 식 정리는 유리식의 항등성을 이용합니다.

라플라스 역변환을 취하면 미분방정식의 해를 얻을 수 있습니다.

여기서 $H(t)$는 Heviside Step Function이고, 주어진 미분방정식을 $t>0$에 대해 고려하면 $H(t)=1$로 두고 미분방정식의 해를 사용하면 됩니다. (사실 $t$가 시간인 경우가 많아 $t>0$에 대해서 고려하긴 합니다.)

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1. 1차 선형 상미분방정식의 형태 (Formula of the first order ODE)

2. 1차 선형 상미분방정식의 풀이 (Solving 1st order Linear ODE)

   - 제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이

   - 비제차 1차 선형 상미분방정식의 풀이

1. 1차 선형 상미분방정식의 형태 (Formula of first order ODE)

1차 선형 상미분방정식은 아래의 형태를 갖습니다.

종속변수가 총 미분된 횟수를 미분방정식에서의 차수라고 생각할 수 있습니다. 여기서는 y가 한번 미분되었다는 것을 나타내기 위해 ‘ 대신 (1)을 윗첨자로 사용했습니다. 마찬가지로 forcing function으로 사용된 q(t)가 0이면 이 미분방정식은 homogeneous ODE이며, 0이 아니라면 Inhomogeneous ODE입니다.

2. 1차 선형 상미분방정식의 풀이 (Solving 1st order Linear ODE)

1) 제차 1차 선형 상미분방정식 (Homogeneous 1st order Linear ODE)

초기조건(IC)이 주어진 homogeneous ODE는 다음과 같습니다.

이 문제는 변수분리법(Separating Variables)을 이용해서 비교적 쉽게 해결할 수 있습니다.

변수분리법은 적분하고자 하는 변수들을 한 곳에 몰아 적분을 비교적 편하게 수행하도록 하는 기법입니다. 이 상황에서는 dy 와 dt를 각 항으로 분리해서 식을 다시 작성할 수 있습니다.

왼쪽 항은 적분이 가능하지만 오른쪽 항은 p(t)의 형태에 의존하기에 문제 상황에 맞게 계산해야 합니다.

적분상수는 결국 초기조건에 의해 결정됩니다. 그렇기에 위의 과정을 거쳐 식을 정리할 수 있습니다.

예시 상황을 들어 초기조건을 적용하는 방법을 보여드리고자 합니다.

EX

이때 * 과정을 이해하기 조금 어려울 수 있습니다. 표현만 같은 거지 엄밀하게 따지만 다른 상수이긴 하지만, 결국 초기조건에 의해서 정해지는 값이므로 표현해둔 것입니다. 초기조건을 대입해서 상황에 적합한 해를 얻을 수 있습니다.

2) 비제차 1차 선형 상미분방정식 (Inhomogeneous 1st order Linear ODE)

초기조건(IC)이 주어진 inhomogeneous ODE는 다음과 같습니다.

inhomogeneous ODE는 ODE의 일반형이라고 생각할 수 있습니다. 이 ODE의 해는 적분인자(Integrating Factor)를 이용해서 유도할 수 있습니다. 그 결과는 다음과 같습니다.

여기서 C는 문제 조건에 의해 정해질 것입니다.

다만 이 공식을 적용할 때 유의해야 하는 부분이 있습니다. 1차 미분된 항 앞의 계수가 1임을 반드시 확인해야 합니다. 예시를 통해서 살펴보겠습니다.

주어진 미분방정식의 1차항 계수가 3이기 때문에 이를 1로 만들어야 하고, 이를 위해 3으로 나누어서 다시 ODE를 작성한 것입니다. 이를 위의 식에 넣어서 계산할 수 있습니다.

초기조건을 이용해서 상수 C를 결정할 수 있습니다.

나타나는 해의 형태를 다시 정리했을 때 homogeneous ODE 였을 때의 해에 특수해가 더해진 것임을 다시 한번 확인할 수 있습니다.

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1. 선형 상미분방정식 (Linear ODE)

2. 상미분방정식의 일반해 (General Solution of ODE)

3. 초기조건(Initial Condition, IC)과 경계조건(Boundary Condition, BC)

4. 미분방정식의 해 구하기 (Solving ODE)

미분방정식은 화학공학에서 빼놓을 수 없는 수학적 도구입니다. 아무리 식을 잘 세워놓았더라도 미분방적식을 풀이할 수 없다면 문제 상황에서의 해답을 찾을 수 없습니다. 개념설명과 문제풀이를 바탕으로 미분방정식에 대해 공부해고자 합니다.

1. 선형 상미분방정식 (Linear ODE)

미분방정식에 하나의 변수만 개입되어 있을 때, 우리는 이 미분방정식을 상미분방정식(Ordinary Differential Equation, ODE)라고 합니다. 그 중에서 선형 미분방정식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

forcing function이 0일 때 우리는 이를 제차상미분방정식(Homogeneous ODE)라고 합니다. 만약 그렇지 않은 경우에는 이 미분방적식을 비제차상미분방정식(Inhomogeneous ODE)라고 합니다.

2. 상미분방정식의 일반해 (General Solution of ODE)

1) 제차상미분방정식의 일반해

제차상미분방정식은 미분방정식으로부터 얻어지는 해들의 선형조합으로 일반해를 얻을 수 있습니다.

2) 비제차상미분방정식의 일반해

비제차상미분방정식은 해당 미분방정식이 제차였을 때 얻어지는 해와 비제차일 때 얻을 수 있는 특수해의 선형조합으로 일반해를 표현합니다.

3. 초기조건(Initial Condition, IC)과 경계조건(Boundary Condition, BC)

우리가 얻는 미분방정식과 그 일반해는 대개 지배방정식(Governing Equation)인 경우가 많습니다. 즉 보편적으로 나타나는 현상들을 설명할 수 있는 수식임을 의미합니다. 하지만 공학에서는 이러한 문제들을 자신의 상황에 맞게 적용해서 결과를 얻어야 합니다. 그래야 해당 문제를 정량적으로 풀어낼 수 있습니다. 그래서 미분방정식의 적합해를 끌어내기 위해서 초기조건 또는 경계조건이 필요합니다. 구체적으로 문제풀이를 시작할 때 자세히 살펴보겠습니다.

4. 미분방정식의 해 구하기

상미분방정식은 2가지 관점에서 해를 구할 수 있습니다  

1) 미분방정식의 해를 직접 구하는 경우

대개 알려져 있는 미분방정식의 경우 문제를 푸는 순서가 정해져 있습니다. 즉 공식 등에 대입해서 문제를 바로 풀이할 수 있습니다.

2) 라플라스 변환을 이용해서 해를 구하는 경우

1)의 방법으로 문제를 풀이하면 적분 연산이 필수적인데, 이는 번거로움을 동반합니다. 그래서 라플라스 변환을 이용해서 미분된 형태의 식을 대수방정식(Algebric Equation, AE)로 변환해서 식을 정리한 후 다시 라플라스 역변환을 통해 해를 구할 수 있습니다.

우선 주어진 미분방정식에 라플라스 변환을 취해줍니다. 그 후 식을 정리해서 라플라스 변환이 취해준 해와 나머지 항들을 분리해서 적어줍니다.

 그 후 라플라스 역변환을 취해서 다시 원래 구해야 하는 해를 얻을 수 있습니다.