화공노트: 화학공학 살펴보기

Contents

1. 대칭성을 갖는 함수 (Functions with Symmetry)

- 우함수, 기함수 등 대칭성을 갖는 함수를 살펴보겠습니다.

2. 대칭성을 갖는 함수의 푸리에 급수 (Fourier Series and Symmetry Function)

- 대칭성을 갖는 함수를 푸리에 급수로 어떻게 표현할 수 있는지 살펴보겠습니다.

3. 반구간 확장 (Half Range Expansion)

- 일정 구간에서 주기를 갖지 않는 함수를 푸리에 급수로 표현할 수 있습니다. 이는 주어진 구간에서의 함수를 주기를 갖는 우함수/기함수라고 가정을 함으로써 얻어낼 수 있는데, 이 방법에 대해 살펴보겠습니다.

1. 대칭성을 갖는 함수 (Functions with Symmetry)

1) 우함수와 기함수 (Even and Odd Function)

고등학교 시절에 수학과목을 공부하며, 우함수와 기함수를 배워볼 기회가 있었습니다. 간단하게 복습해보겠습니다.

$x$ 대신 $-x$를 대입했을 때의 함숫값을 원래 함수와 비교할 수 있습니다. 이때 함숫값이 같다면, 이를 우함수(짝함수, even function)라고 합니다. 반대로 부호가 반대로 나온다면 이 함수를 기함수(홀함수, odd function)라고 합니다. 우함수는 $y$축에 대하여 대칭인 선대칭 함수의 한 종류이고, 기함수는 원점에 대해 대칭인 점대칭 함수의 한 종류입니다.

2) 선대칭과 점대칭 함수 (Line Symmetry and Point Symmetry Function)

우함수와 기함수를 확장할 수 있습니다. 즉, 어떤 임의의 선에 대한 함수가 있을 수 있고, 비슷하게 어떤 임의의 점에 대해 대칭인 함수도 얻을 수 있습니다. 이를 수학적으로 표현할 수 있습니다.

3) 함수 속에 숨겨진 대칭성 (Symmetry within arbitary function)

어떤 임의의 함수는 우함수와 기함수의 합으로 이루어져 있습니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

어떤 함수를 우함수와 짝함수의 관계에 있는 함수들의 합으로 표현해도 그 결과가 동일합니다. 이를 이용해서 푸리에 급수를 대칭을 갖는 함수의 관점에서 살펴볼 수 있습니다.

2. 대칭성을 갖는 함수의 푸리에 급수 (Fourier Series and Symmetry Function)

이제 대칭성을 보이는 함수의 푸리에 급수를 살펴보겠습니다.

1) $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$에서 정의된 우함수의 푸리에 급수

푸리의 급수로부터 시작할 수 있습니다.

이때, 푸리에 계수를 결정하여 실제 우함수의 푸리에 급수를 얻을 수 있습니다. 각각의 계수를 구해보겠습니다. 이때 우함수/기함수에 대한 적분의 성질이 사용됩니다. 고등과정에서 배웠을 것이라고 생각하고, 바로 시작하겠습니다.

(1) $a_0$ 구하기

주어진 함수가 y축 대칭이므로, 주어진 구간에서의 적분은 0부터 시작하는 적분의 2배를 취한 것과 같음을 알 수 있습니다.

(2) $a_k$ 구하기

$a_0$를 구하는 것과 동일하게 $a_k$를 결정할 수 있습니다.

주어진 함수와 코사인함수 모두 우함수이므로, 이를 곱한 함수도 우함수입니다. 그렇기에 주어진 구간에 대한 적분을 0부터 시작하는 적분의 2배로 계산할 수 있습니다.

(3) $b_k$구하기

$b_k$도 함수의 대칭성을 이용한 적분의 계산을 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다.

우함수와 기함수를 곱하면 기함수가 됩니다. 기함수에 대해서 대칭인 적분 구간에 대해 적분을 진행하면 적분 결과가 0인 것을 알고 있을 것입니다. 그러므로 $b_k = 0$입니다.

(1) ~ (3)을 통해서 우함수(짝수함수)에 대한 푸리에 급수를 얻을 수 있었고, 이를 정리하면 아래와 같습니다. 이처럼 얻는 푸리에 급수를 푸리에 코사인 급수 (Fourier Cosine Series)라고 합니다.

2) $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$에서 정의된 기함수의 푸리에 급수

우함수에서 했던 방법을 동일하게 따랐을 때, 대칭인 적분구간에서 정의된 기함수에 대한 푸리에 급수도 얻을 수 있습니다. 부가적인 설명을 생략하고 바로 푸리에 계수를 계산하겠습니다. 그 결과는 아래와 같습니다.

얻어진 푸리에 계수를 바탕으로 기함수(홀수함수)에 대한 푸리에 급수를 얻을 수 있고, 이를 아래에 정리해두었습니다.

우리는 이를 푸리에 사인 급수 (Fourier Sine Series)라고 합니다.

3) 확장 : 제시된 함수를 푸리에 사인/코사인 급수를 이용해서 표현하기

앞서 모든 함수는 원점대칭인 함수와 y축 대칭인 함수의 합으로 구성되어 있음을 이야기 했습니다. 이 성질을 이용하면 주어진 함수의 푸리에 급수를 더 쉽게 구할 수 있습니다.

Step 1 주어진 함수를 원점대칭인 함수와  y축 대칭인 함수로 분리한다.

Step 2 원점대칭 함수에 대한 푸리에 사인 급수를, y축 대칭인 함수에 대한 푸리에 사인 급수를 구한다.

이때 푸리에 사인 급수와 코사인 급수에서 시그마의 index를 다르게 표현했는데, 이 둘을 합쳤을 때 혹시 결과가 다르게 나타날 수 있음을 예방한 것입니다. 같은 함수를 다른 과정을 거쳐 푸리에 급수로 표현하더라도 형태는 같아야 하기에 큰 문제는 없을 것이라고 생각됩니다. 하지만, 시그마를 여러개 사용할 때 함부로 index number를 같게 표현하는 것을 조심해야 함을 강조하고 싶었습니다. 일단, $l, k$를 교차해서 사용하더라도 큰 문제가 없다고 생각하겠습니다.

Step 3 푸리에 사인 급수와 푸리에 코사인 더하여 원래 함수의 푸리에 급수를 구한다.

푸리에 계수를 계산할 때 원래 함수가 아닌 우리가 분리한 우함수/기함수를 기준으로 해야 함을 주의해야 합니다.

이러한 의문이 들 수 있습니다. 그냥 바로 푸리에 급수를 구해도 무방할텐데, 왜 우리는 대칭성을 이용한 절차를 거쳐야 하는가? 이는 푸리에 급수를 구함에 있어 더 편함을 보장하기 위함입니다. 예를 들어 주어진 함수가 $f(x)=x+1$이라면 $y=x$에 대한 푸리에 사인 급수를 구하고 $ y=x$에 대해 푸리에 코사인 급수를 구해서 더하는 것이 바로 푸리에 급수를 구하는 것보다 더 편할 것입이다.

3. 반구간 확장 (Half Range Expansion)

푸리에 사인/코사인 급수를 이용하면, 주기성을 갖고 있지 않은 함수이더라도 푸리에 급수를 구할 수 있게됩니다. 이처럼, 반구간($[0,a]$)에 대해 정의된 함수에 주기성/대칭성 등을 고려하여 푸리에 급수를 구하는 것을 반구간 확장(Half Range Expansion)이라고 합니다. 

대략적인 반구간 확장의 알고리즘은 다음과 같습니다.

Step 1 주어진 함수를 우함수/기함수가 되도록 확장합니다. 

Step 2 해당 우함수/기함수가 일정 주기를 갖고 반복된다고 가정합니다. 그리고 이에 대한 푸리에 급수를 얻습니다.

반구간 $[0,T]$에서 정의된 어떠한 함수$f(x)$를 우함수 및 기함수로 확장하는 반구간 확장을 보여드리고자합니다.

1) 우함수를 이용한 반구간 확장 (Half Range Expansion with Even Function)

Step 1 주어진 함수를 우함수가 되도록 확장합니다. 이를 위해서 반대편 반구간 $[-T,0]$에 새롭게 함수를 정의해야 하고, 이는 수학적으로 다음과 같이 표현할 수 있을 것입니다.

즉, $h(x)$는 원래 반구간에서 정의된 함수 $f(x)$를  y축 대칭하여 확장한 함수입니다.

Step 2 새롭게 얻은 함수 $h(x)$는 $2T$의 주기를 갖는 주기함수라고 가정하겠습니다. (그래야 y축 대칭인 성질을 그대로 이용할 수 있기 때문입니다.) 우함수에 대해 푸리에 급수를 구하는 것이기에 푸리에 코사인 급수를 구하면 될 것입니다.

결국 확장된 함수에서 원래 정의된 구간에 대해 함수를 얻으면 주기가 있다고 생각하고 얻은 푸리에 급수와 그 결과가 동일하게 나타나는 것을 알 수 있습니다.

2) 기함수를 이용한 반구간 확장 (Half Range Expansion with Odd Function)

우함수를 이용했던 것과 동일한 과정을 거치면 반구간확장을 할 수 있습니다. 간단하게 살펴보겠습니다.

Step 1 주어진 함수를 기함수가 되도록 확장합니다. 이는 반대편 반구간에 원점대칭한 함수를 확장한 형태일 것입니다.

Step 2 $g(x)$의 주기가 $2T$라고 했을 때, 이 함수는 원점대칭이므로 푸리에 사인 급수를 얻을 수 있습니다.

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1. 푸리에 급수의 형태 (Formula of Fourier Series)

- 주기를 갖는 함수를 푸리에 급수를 이용해서 어떻게 표현하는지 정의합니다.

2. 푸리에 계수의 결정 (Determinant of Fourier Coefficient's)

- 푸리에 급수를 특정하기 위해서는 푸리에 급수에 포함된 삼각함수의 계수를 결정해야 합니다. 삼각함수 내적의 직교성(Orthogonality)을 이용해서 푸리에 급수의 계수(Fourier Coefficients)를 어떻게 결정하는지 알아보겠습니다. 

3. 푸리에 급수의 수렴성과 급수의 합 (Convergence and Sums of Fourier Series)

- 푸리에 급수의 수렴에 대해 간단하게 살펴보고, 실제 물리적인 의미에서 푸리에 급수어 어떻게 다루어지는지에 대해 살펴보겠습니다.

1. 푸리에 급수의 형태 (Formula of Fourier Series)

1) 푸리에 급수의 정의

표현하고자 하는 함수 $f(x)$가 부분적으로 연속(piece-wise continous)이고, 주기가 $T$인 주기함수라고 가정하겠습니다. 이때 $f(x)$를 삼각함수를 계수와의 조합으로 표현할 수 있습니다.

이때 $\{{a_k\}}'s$, $\{{b_k\}}'s$는 푸리에 계수(Fourier Coefficients)라고 합니다. 푸리에 계수는 삼각함수의 내적의 직교성을 통해 얻어질 수 있는데, 그 결과는 곧 살펴보겠습니다.

이처럼 주기함수 $f(x)$는 $cos(\frac{2pi}{T})kx$와 $sin(\frac{2pi}{T})kx$를 기저해로 하는 선형조합으로 표현할 수 있는데, 이를 푸리에 급수(Fourier series)라고 정의합니다.

2) 불연속지점에서의 푸리에 급수의 표현

푸리에 급수는 부분적으로 연속인 함수에 대해서 표현할 수 있다고 언급했습니다. 정의의 형태를 보면, 삼각함수들의 합으로 표현된 것을 알 수 있으며, 이는 함수 $f(x)$가 전 구간에서 연속이 될 수 있음을 의미합니다. 그렇기에 푸리에 급수는 원래 함수의 불연속부분을 어떻게 처리하는 지에 대해서 살펴볼 필요가 있습니다.

불연속지점에서의 푸리에 급수의 값은 해당 지점에서의 좌극한값과 우극한값의 평균을 갖습니다. 이를 수학적으로 표현할 수 있습니다.

2. 푸리에 계수의 결정 (Determinant of Fourier Coefficient's)

1) 내적으로 표현한 삼각함수의 직교성 (Orthogonality of Trigonometric Function with Inner Product)

푸리에 급수로 주어진 함수를 정의했을 때, 실제 정의한 급수가 실제 함수를 표현하기 위해서는 푸리에 계수를 결정해야 합니다. 이를 위해서는 삼각함수가 직교성(Orthogonality)를 따른다는 것을 이용해야 합니다. 어떤 함수의 직교성은 내적(inner product)을 이용해서 얻을 수 있습니다.  함수의 내적(inner product)을 수학적으로 다음과 같이 표현합니다.

이를 이용해서 삼각함수를 이용한 내적의 결과를 구할 수 있습니다. ($k$는 정수)

한편, 우리가 얻으려는 삼각함수의 직교성은 서로 다른 두 삼각함수를 한 주기 내에서 내적을 취했을 때 그 결과가 0임을 의미합니다. 이를 위해 삼각함수끼리의 내적의 결과를 확인해야 합니다. 계산 과정에서 삼각함수의 항등성을 사용하게 되는데, 해당 개념을 모르겠으면 아래의 글을 살펴보는 것을 추천드립니다.

(1) cos-cos, sin-sin 사이에서의 직교성

우선 코사인 함수끼리의 내적의 결과부터 살펴보겠습니다. ($m$, $n$은 정수)

$m=n$이라면 이는 서로 같은 두 코사인함수를 내적한 것이고, 그렇지않다면  서로 다른 두 코사인함수를 내적하는 것입니다. 이에 따라 적분값은 결과가 다르게 나타납니다.

$m\neq n$이라면 $m-n$또한 하나의 정수이므로 그 적분 값이 0이 될 것입니다.

하지만 $m=n$이라면 서로 같은 삼각함수를 내적하는 것이므로 특정 값을 얻을 수 있을 것입니다.

이를 정리하면 아래와 같습니다.

즉, 서로 다른 두 코사인 함수를 내적하면 그 결과가 0이고, 이는 서로 다른 두 코사인 함수는 서로 직교한다는 것을 의미합니다. 

비슷한 과정을 거쳐 사인 함수 사이에서의 내적도 계산을 해볼 수 있으며, 그 결과 서로 다른 사인함수 사이에서의 직교성도 얻을 수 있습니다.

(2) sin-cos 사이에서의 직교성

마지막으로 사인함수와 코사인함수 사이의 직교성을 살펴보겠습니다.

사인 함수의 경우 전체 주기에 대해 적분을 하면 그 결과는 항상 0이기 때문에 $m$과 $n$의 관계와 무관합니다. 즉, 서로다른 사인, 코사인 함수는 직교성을 갖는 것을 알 수 있습니다.

(1)과 (2)의 결과를 통해 우리는 서로 다른 sin, cos함수를 내적하면 결과가 0이고, 이는 두 함수는 서로 직교한다는 것을 알 수 있습니다. 이 결과를 이용해서 푸리에 계수를 결정해보겠습니다.

2) 푸리에 계수의 결정 (Determinant of Fourier's Coefficient's)

푸리에 급수를 다시 살펴보겠습니다.

계수를 결정한다는 것은 $a_0$, 자연수 $k$에 대한 ${\{a_k \}}'s$, ${\{b_k\}}'s$를 결정해야 함을 의미합니다. 그리고 이 과정에서 위에서 구한 삼각함수에 대한 내적의 결과가 필요하므로, 그 결과만 요약해보았습니다.

푸리에 계수를 결정하는 방식은 편미분방정식의 해의 계수를 결정하는 방법과 거의 동일하므로 그 과정을 잘 이해할 필요가 있습니다. 세 번의 결정을 하게 될텐데, 결국 방법은 똑같습니다. 

"목표로 하는 계수를 제외한 나머지 항들이 모두 0이 되도록 내적을 취함"

연산자 관점에서 보면 전체 함수 중 원하는 대상만을 관찰하기 위해서 내적(적분) 연산자를 취하는 행위라고 말할 수 있습니다. (정확하게는 모르겠지만, bra-ket notation과 관점이 비슷하다고 생각됩니다..) 하나씩 살펴보겠습니다.

(1) $a_0$의 결정

우리의 목적은 $a_0$를 구하는 것이므로, 해당 항을 제외한 나머지 모든 항의 내적의 결과가 0이 되도록 적분을 취해야 합니다. 이를 위해서 내적(적분연산자)을 취할 수 있습니다.

그 결과는 아래와 같습니다.

식을 정리해서 $a_0$을 결정할 수 있습니다.

(2) $a_k$의 결정

비슷한 방법으로 $a_k$도 결정할 수 있습니다. 얻고자 하는 계수가 $cos$에 해당합니다. 우리의 목적은 내적을 통해 $cos$앞의 계수를 제외한 모든 항들을 0으로 만드는 것입니다. 이를 위해 주어진 푸리에 급수에 아래의 내적을 취할 수 있습니다.

그 결과는 아래와 같습니다.

2, 3번째 항은 직교성에 의해 내적 결과가 0이고, 첫 번째 항에서 $k=m$이 아닌 모든 항도 마찬가지로 내적의 결과가 0이므로 이를 정리할 수 있다.

(3) $b_k$의 결정

마찬가지로 $b_k$도 결정할 수 있습니다. 구체적인 과정은 생략하고 간략한 결과만 나타내겠습니다.

(1) ~ (3)의 결과를 바탕으로 함수 $f(x)$를 푸리에 급수로 표현할 수 있고, 이를 특정지을 수 있습니다.

3. 푸리에 급수의 수렴성과 급수의 합 (Convergence and Sums of Fourier Series)

1) 푸리에 급수의 수렴성

미적분학을 공부하다 보면 무한급수의 수렴성에 대해 배운적이 있을 것이다. 푸리에 급수도 결국 무한급수이기 때문에 수학적으로 표현하더라도 실제로는 그 결과가 발산하는 경우가 많다. 하지만 푸리에 급수를 정의할 때 급수의 수렴성에 대해 충분히 고민해보지는 않았다.

푸리에 급수로 나타내려는 함수가 부분적으로 연속이라고 하자. 이때 푸리에 급수가 수렴하기 위해서는 아래의 조건이 필요하다.

(1) 연속인 구간에서는 함수가 미분가능하고

(2) 불연속인 지점들에서는 해당 지점에 대해 좌미분계수와 우미분계수가 존재할 때

연속인 구간에서는 함수값으로 수렴하며, 불연속인 지점에서는 좌극한과 우극한의 평균으로 수렴한다고 앞서 소개했다.

2) 실제 세계에서의 푸리에 급수

물리세계에서 무한은 가상의 개념일 분 실제로 무한의 특성을 띠는 것은 없다. 그렇기에 실제 푸리에 급수는 급수가 아닌 부분합으로 표현되어야 한다. 

$N$이 매우 커질수록 원래 함수에 대한 푸리에 급수의 오차는 작아진다. 불연속인 지점에서도 마찬가지로 오차가 존재한다. 이때, 불연속 지점을 연속으로 잇기 위해 삼각함수가 반드시 진동하는 형태를 가져야 하는데, 이를 '깁스 현상(Gibbs Phenomenon)'이라 한다. 깁스 현상도 $N$이 커질수록 그 정도가 작아진다. 

Contents

1. Introduction (도입)

- 푸리에 급수와 푸리에 변환의 개념과 유용성에 대해 간단하게 소개합니다.

2. Properties of Trigonometric Function (삼각함수의 특성)

- 푸리에 급수와 푸리에 변환을 다룰 때 삼각함수를 가장 많이 다루는 삼각함수의 수학적 특성에 대해 간단하게 살펴봅니다.

1. Introduction (도입)

어떤 함수를 분석하기 위해서 근사(approximation)를 취하는 경우가 많습니다. 대표적으로 어떤 함수를 대수적으로 다루려고 할 때 테일러 급수(Taylor's Series)나 매클로린 급수(Maclaurin's Series)를 사용할 수 있습니다. 하지만 이 방법은 분석하려는 함수가 분석구간에서 연속적이여야 합니다. 연속함수이더라도 근사 기준점으로부터 분석지점이 멀어진다면 오차가 커지는 단점을 갖고 있습니다. 이 문제를 해결하기 위해 푸리에 급수(Fourier Series)나 푸리에 변환(Fourier Transformation)을 이용할 수 있습니다.

푸리에 급수/변환을 이용하면, 불연속적인 함수로 시작하더라도 부분적으로 연속인 함수(piecewise-continuous fucntion)로 바꾸어 표현할 수 있게됩니다. 이는  푸리에 급수/변환이 삼각함수를 기저로 한 조합으로 표현되기에 가능합니다. 변환하려는 함수가 주기함수라면 푸리에 급수를 이용할 수 있습니다. 주기 함수가 아니라면, 주기를 무한대로 갖는 함수로 생각해서 푸리에 적분을 취할 수 있고, 이를 푸리에 변환이라고 합니다. 추후 자세히 살펴보겠습니다.

결국 푸리에 급수와 푸리에 변환을 다룰 때 삼각함수에 대해 잘 알아두어야 합니다. 그렇기에 삼각함수의 몇가지 특성에 대해 알아보고자 합니다.

2. Properties of Trigonometric Function (삼각함수의 특성)

1) 삼각함수는 주기함수입니다. 어떠한 함수가 주기를 $T$로 가질 때 주기함수는 아래와 같이 정의됩니다. 

주기함수에서의 주기는 위의 식을 만족시키는 가장 작은 양수를 의미합니다.

2) 삼각함수는 몇가지 항등성을 갖습니다. (Trigonometric Identity)

(1) 삼각함수의 덧셈정리 (Angle Sum Identitiy)

삼각함수의 덧셈정리는 여러 방법을 이용해서 증명할 수 있지만, 이미 고등수학에서 그 방법이 제시되어 있기 때문에 생략하겠습니다. 삼각함수의 덧셈정리의 결과를 이용하면 삼각함수를 이용한 여러 항등식을 얻을 수 있습니다.

(2) 합에서 곱으로의 표현 (From Sum to Multiplication)

(3) 곱에서 합으로의 관계 (From Multiplication to Sum)

물리적 물성(property)은 시공간의 영향을 받는다. 공간 또는 시간이 변함에 따라 물성도 변화한다. 대표적으로 온도, 에너지 등이 있다. 이러한 물성들은 다변수 함수로 표현된다. 

편미분방정식(Partial Differential Equation)은 물리, 공학에서 주로 사용되는 수학적 도구다. 이는 관찰하고자 하는 물성의 편도함수(partial derivatives)사이의 관계를 나타낸다. 아래는 수직선상의 움직임과 시간의 변화를 고려한 1D equation이다.

$\frac{{\partial}^2 u}{{\partial}^2 t}=c^2 \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}^2 x}$

편미분방정식의 해는 시공간에서의 물성의 분포(distribution)를 표현한다. 변수의 변화에 따라 달라지는 물성을 표현하기 때문이다. 그렇기에 편미분방정식을 얻어내는 것과 이를 풀어내는 것 모두 중요한 문제이다. 하지만 편미분방정식을 풀이하는 것은 어렵다. 한 문제를 풀이 하는 데에도 많은 지면을 필요로 하고, 그렇기에 포기하는 사람이 많은 것 같다. 사실 대학교 학부 수준에서 접하게 되는 편미분방정식은 실제의 편미분방정식의 일부일 뿐이다. 손으로 풀 수 있는 극히 일부의 문제들을 다루는 경우가 태반이다. 그럼에도 불구하고 학부 정규 교육과정을 따라가기 위해서나 시험을 보기 위해서 최소한의 편미방은 직접 풀이할 수 있어야 한다. 

처음으로 편미분방정식을 접하고, 수업 시간에 놓친 내용을 위해서 여러 자료를 찾아보는 경우가 많다. 하지만, 영어에 비해 한글로 된 자료가 많지 않다. 상미분방정식, 수치해석, 선형대수학 등 유명한 수학 과목에 비해서는 한글로된 정보가 극히 드물다. 그래서 먼저 편미방을 공부해본사람으로서 약간의 경험을 나눠보려 한다. 전문적인 내용까지는 다루지 못하더라도, 공학수학이나 수리물리학에서 제시된 내용을 차근차근 설명해보려 한다. 

바로 편미분방정식에 대해서 이야기하고 싶지만, 몇가지 알아야 하는 선수지식들이 있다. 이를 먼저 살펴본 후 본격적으로 편미분방정식에 대한 이야기를 이어가려 한다. 현재 아래의 순서에 맞게 글을 게시할 계획이다.

Contents

1. Presquites (선수지식)

1) Fourier Series and Fourier Transform (푸리에 급수와 푸리에 변환)

- 편미분방정식을 풀이하게 되면 상미분방정식과 비슷하게 기저해의 선형결합을 통해 일반해를 얻는다. 이때 각 기저해가 갖는 계수를 결정할 때 푸리에 급수/변환이 사용된다. 그렇기에 이를 어떻게 계산하는지 살펴보려 한다.

2) Strun-Louville Theory (스트룸-리우빌 이론)

- 스트룸-리우빌 이론은 2차 선형 상미분방정식을 소재로 한다. 편미분방정식을 공부하는데 상미분방정식 개념이 왜 필요한지 의문을 가질 수 있다. 편미분방정식을 손으로 풀이할 때 하나의 편미분방정식을 하나 또는 여러개의 상미분방정식으로 나누어 풀이하는 기법이 사용된다. 특히, 편미분방정식으로부터 여러개의 2계 선형 상미분방정식을 얻는 경우가 많다. 따라서 스트룸-리우빌 이론을 다루어 편미분방정식의 풀이를 돕고자 한다.

3) Initial Conditon(IC) and Boundary Conditon(BC) (경계조건)

- 상미분방정식과 편미분방정식의 큰 차이중 하나가 조건을 중요시한다는 점이다. 상미분방정식의 경우 조건이 특별히 제시되어 있지 않아도 일반해를 얻는 데에서 그쳐도 크게 상관하지 않는다. 하지만 편미분방정식의 해는 조건의 설정 형태에 따라서 우리가 얻게되는 최종 해의 형태가 상이하다. 그렇기에 조건에 대해서 조금 더 심도깊은 논의를 해볼 필요가 있다. 경계조건의 제치화(Homogenization)를 다룰 예정이다.

2. Solving Partial Differential Equation (Solving PDE, 편미분방정식의 풀이)

1) Classification of PDE (편미분방정식의 분류)

- 본격적인 편미분방정식의 내용에 대한 공부에 앞서 편미분방정식의 종류를 먼저 알 수 있어야 한다. 각각의 방정식의 종류에 따라 풀이방식이 상이하기 때문이다. 2차 편미분방정식에 대해 (즉, 최대 미분횟수가 2회인 편미분방정식에 대해) 소개를 할텐데, 이 편미방은 Hyperbolic, Parabolic, Elliptic으로 분류된다. 각각을 어떻게 구분하는 지와 예시를 소개할 것이다.

2) Technique for Solving PDE (1) Seperation of Varibales (편미분방정식 풀이 (1) 변수분리법)

- 편미분방정식의 풀이는 편미분방정식을 상미분방정식으로 바꾸는 데에서 시작하는 경우가 많다. 그 중에서 가장 널리 이용되는 변수분리법(Seperation of Variables)을 이용해서 편미분방정식을 풀이하는 방법에 대해 소개하고자 한다. 

3) Technique for Solving PDE (2) Transformation Method (편미분방정식 풀이 (2) 변환을 이용하는 풀이)

- 편미분방정식을 풀이할 때 라플라스 변환 등을 이용해서 상미분방정식으로 전환한 후 풀이를 이어나가는 경우가 있는데, 이 방법을 소개하고자 한다.

4) Technique for Solving PDE (3) Similarity Method (편미분방정식의 풀이 (3) 상사성 변환)

- 특정 경계조건 하에서는 편미분방정식을 단 하나의 상미분방정식으로 변환해서 풀이를 할 수 있다. 이 방법은 유체역학에서 차원해석에 대해 공부를 할 때 접하는 경우가 많고, 처음 접할 시 이해를 하는데 어려움이 있기에 간단하게 소개해보고자 한다.

예정) Special Functions

- Bessel 방정식, Legendre 방정식 등 물리학에서 주로 사용되는 방정식과 그 풀이과정에 대해 소개하고, 각각의 해가 갖는 특성에 대해 이해해고자 한다. 공학수학보다는 수리물리학에서 주로 다루는 주제이며, 그렇기에 내용이 보다 어려울 수 있다. 다룰 수 있는 기회가 있다면 간단히 내용을 얘기해보려 한다.

이어지는 글들에서는 개념에 대한 소개를 이어가고 필요하다면 문제 풀이 과정을 함께 제시하려 한다. 

Contents

1. 반응물 및 생성물의 농도 변화

2. 부피 및 압력 변화

3. 온도 변화에 따른 평형 이동

화학 반응은 일정 시간이 지나면 평형에 다다른다. 하지만 평형 상태에 놓인 계에 변화를 주면 변화가 해소되는 방향으로 평형의 위치를 변화한다. 특히 농도, 압력, 온도가 변할 때 화학 평형이 변화한다.

1. 반응물 및 생성물의 농도 변화

평형에 놓여 있는 계에서 물질의 농도가 증가하면, 계는 추가된 물질을 소모하는 방향으로 평형이 이동한다. 반면 물질의 농도가 감소하면, 그 계는 감소된 물질을 다시 보충할 수 있는 방향으로 평형이 이동한다. 농도의 변화는 온도 변화가 수반되지 않기 때문에 평형 상수가 기존의 평형 때와 같은 값을 갖는다 반응물과 생성물의 증감에 따라 나타나는 반응의 경향성이 다르므로, 아래의 표를 통하여 어떻게 변화하는지 살펴보자.

2. 부피 및 압력 변화

부피나 압력에 의한 평형의 이동은 평형 상태에의 계가 기체 물질을 하나 이상 포함하고 있어야 한다. 특정 온도의 평형 상태에서 부피의 변화로 압력이 변화하면, 그 변화를 완화하려는 방향으로 다시 평형이 이동한다. 기체의 분자수는 계의 압력을 결정한다. 그러므로 부피와 압력의 변화는 기체 분자수의 변화로 이어진다. 이때 평형 상태가 어떻게 변화할 지는 반응물과 생성물에 포함되어 있는 기체 물질의 반응 계수의 크기 비교를 통해 알 수 있다. 그러므로 같은 경향의 부피와 압력의 변화는 동일한 변화를 야기하지 못하며, 평형 이동을 파악하려는 반응의 반응 계수를 비교하여 우세한 반응을 결정해야 한다. 반응 전후로 기체 분자의 계수 합이 동일하다면, 부피와 압력의 변화는 평형 변화에 영향을 주지 못한다.

한편 계의 부피를 조작하지 않더라도 반응에 관여하는 물질을 추가로 넣으면 부분압력의 변화로 평형을 변화시킬 수 있다. 이는 곧 반응에 관여하지 않는 기체 물질은 계의 전체 압력에만 영향을 줄 뿐, 부분압력에는 어떠한 영향도 미치지 않아 평형을 변화시킬 수 없다. 아래의 표는 반응 전후 기체의 반응 계수의 합이 다른 경우 변화에 대해 평형이 어떻게 이동하는지 정리한 것이다.

3. 온도 변화에 따른 평형 이동

온도에 의한 평형 상태의 변화를 쉽게 이해하기 위해서 반응에서 출입하는 열을 반응물 혹은 생성물로 생각해보자. 흡열반응은 반응을 위하여 열을 사용하기 때문에 열을 반응물처럼 사용하는 반응으로 생각할 수 있다. 반면 발열반응은 반응 결과로 열을 방출하기 때문에 열을 생성물처럼 생각할 수 있다. 이를 화학식에 반영하면 다음과 같다.

온도가 변하면 그 변화를 완화하려는 방향으로 평형이 이동한다. 해당 반응이 흡열인지 발열인지를 고려하면 제공되거나 빼앗긴 열이 평형을 어떻게 이동시킬 것인지 알 수 있다. 예를 들어 흡열 반응의 평형 상태에 열을 가한 경우 반응물(열)이 가해진 것으로 볼 수 있으므로 이를 소모하고자 정반응이 우세해진다. 한편, 농도나 부분압력의 변화는 평형 상수 값에 영향을 주지 못하나 온도에 의한 변화는 평형 상수에 영향을 미친다. 온도 변화에 의한 평형 이동과 변화한 평형 상수를 정리하여 다음 표와 같이 정리할 수 있다.

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화학평형의 개념

평형상수

1. 화학평형의 개념

가역 반응에서 화학적 평형을 관찰할 수 있다. 평형 상태는 어떤 가역 반응이 시간이 충분히 흐른 후에 더 이상 알짜 농도 변화를 관찰할 수 없는 상태를 의미한다. 그렇다고 반응이 전혀 발생하지 않음을 뜻하지 않는다. 평형 상태에 놓인 계를 분자적 관점에서 살펴보면 정반응과 역반응이 모두 발생하는 중이다. 다만 정반응에 대한 반응 속도와 역반응에 대한 반응 속도가 동일하기 때문에 거시적으로 관찰했을 때 변화를 파악하기 힘든 것이다.

2. 평형상수

① 평형상수의 개념

정반응과 역반응을 모두 단일 단계 반응으로 갖는 일반적인 반응을 살펴보자. 다음은 반응식과 정반응과 역반응의 반응 속도를 초기에 넣어준 물질에 대하여 표현한 것이다.

이 반응이 평형상태에 놓여있다면 양방향으로의 반응속도가 동일하므로, 아래와 같이 식을 정리할 수 있다.

즉, 평형 상태에서 농도 사이의 특정한 비율은 일정한 값을 가지며, 이 값을 평형 상수라고 한다. 평형상수는 2가지 변수에 의하여 수치가 결정된다. 평형상수는 반응이 발생하는 온도에 의존한다. 계의 온도가 변하면 반응하는 정도가 변할 수 있기 때문이다. 평형상수는 또한 반응에 대해 의존한다. 가역 반응이 단일 단계 반응이라고 가정하면 반응의 계수에도 의존할 수 있으며 정반응과 가역 반응의 정도, 평형 상태시의 각 물질의 농도 등 반응의 정보에 의하여 평형 상수 값이 변할 수 있다.

② 기체의 압력으로 표현한 평형 상수 $K_p$

만약 반응물과 생성물이 기체를 포함할 경우에는 몰농도 대신 부분 압력을 사용해서도 평형 상수식을 표현할 수 있다.

몰농도를 사용한 평형상수와 구분하기 위해서 $K_p$로 표기한다. 이상 기체 상태 방정식을 이용하면 압력에 대한 식을 온도와 반응에 대한 몰 변화$\delta n$를 이용해서 표현할 수 있다.

이때 $\delta n = (c+d)-(a+b)$라고 하고 몰 농도를 이용한 평형상수를 대입하면 식을 얻을 수 있다.

실제 수치를 계산할 때 이상 기체 상태방정식의 단위를 따라 를 이용하며 온도는 절대 온도를 사용한다.

③ 활동도와 평형상수의 엄밀한 논의

활동도는 이상적인 혼합물 속에서 표준 농도 1M에 대한 해당 물질의 농도 비이거나, 표준 압력 1atm에 대한 해당 물질의 압력의 비이다. 만약 어떤 물질이 0.01M이라면 활동도는 1M에 대한 비 값인 0.01M/1M=0.01로 표현할 수 있다. 하지만 실제 농도와 활동도가 비슷한 경우는 묽은 용액만 해당한다. 진한 용액의 활동도는 용질 사이의 상호작용으로 녹아 있는 용질의 몰수와 다른 값을 보이며 몰 농도와 활동도가 차이가 날 수 있다. 한편, 고체나 액체는 주어진 물질에 대하여 행동하는 경향성이 거의 비슷하기 때문에 활동도가 1로 표현된다.

활동도를 이용하면 농도나 압력을 사용할 때 보다 평형상수를 정확하게 표현할 수 있다. 활동도를 사용하지 않으면 반응식의 계수에 대해 $a+b=c+d$인 경우를 제외하면 단위가 남는다. 그러나 활동도는 단위가 없기 때문에 구한 값을 대입하여 단위 없는 평형상수를 얻을 수 있다. 또한 평형 상수를 구할 때 액체와 고체를 무시하는 이유도 쉽게 알 수 있다. 반응물과 생성물에 있는 모든 물질의 활동도를 평형 상수를 구할 때 사용하더라도 결국 고체 및 기체의 활동도는 1이기 때문에 무시한 것과 같은 결과값을 얻을 수 있다.

④ 반응지수$Q$와 평형 상수의 비교를 통한 반응의 방향성 파악

두 변수에 의해 결정된 평형 상수의 크기로 반응의 경향성을 알 수 있다. 만약 평형 상수 값이 작다면 생성물의 양이 적은 것을 의미하며 역반응이 활발한 것을 의미한다. 반대로 평형 상수 값이 크다면 생성물의 양이 많으며, 정반응이 활발함을 뜻한다. 그리고 평형 상수의 값이 적당히 중간값을 갖는다면 반응물과 생성물이 비슷한 정도로 남아있음을 뜻한다. 화학 공정 등에서는 평형 상수가 매우 작거나 매우 큰 반응을 선호하며, 이는 얻고자 하는 물질을 더 많이 얻을 수 있기 때문이다.

위의 방법은 평형 상수의 크기만을 이용해서 반응이 전반적으로 어떤 상태에서 평형이 형성되는 지를 알 수 있다. 여기에 반응 지수 를 이용하면 현재 상태에서 반응이 어떻게 진행될 것인지도 알 수 있다. 반응 지수는 평형 상수와 값을 구하는 방법이 동일하지만, 대입하는 값이 평형 상태의 활동도가 아니라 특정 시점에서의 활동도를 대입하면 구할 수 있다. 반응 지수와 평형 상수의 비교는 아래의 세가지 경우로 비교할 수 있다.

ⅰ) $Q<K$인 경우에는 생성물의 농도가 작은 경우다. 평형에 도달하기 위하여 생성물이 더 많이 생성되어야 하므로 반응이 왼쪽에서 오른쪽으로 진행되는 정반응이 우세하다.

ⅱ) $Q=K$인 경우에는 평형 상태에 도달함을 뜻한다.

ⅲ) $Q>K$인 경우에는 생성물의 농도가 큰 경우다. 평형에 도달하기 위하여 생성물이 감소해야 하므로 반응이 오른쪽에서 왼쪽으로 진행되는 역반응이 우세하다.

⑤ 다양한 반응에 대한 평형 상수의 결정

역반응, 동일 반응의 반복(계수의 변화), 반응 메커니즘에서의 평형 상수도 구할 수 있다.

ⅰ) 역반응에서의 평형 상수

평형 상수는 (생성물)/(반응물)꼴로 표현된다. 역반응은 반응물과 생성물의 위치가 바뀌는 것이므로 역반응의 평형 상수는 기존의 반응을 기준으로 (반응물)/(생성물)꼴로 표현된다. 따라서 역반응의 평형 상수는 정반응의 평형 상수에 대해 역수 값을 갖는다.

ⅱ) 계수의 변화와 평형 상수

어떤 반응식의 계수가 배 변했다면 그 반응의 평형 상수는 기존의 평형상수의 제곱을 한 값을 갖는다.

이는 반응의 평형 상태에 존재하는 물질들의 농도는 반응 계수와는 무관하지만, 평형 상수는 계수의 변화로 값이 변할 수 있음을 뜻한다.

ⅲ) 반응 메커니즘의 평형 상수

반응 메커니즘의 평형 상수는 각 단일 단계의 평형 상수를 곱한 값과 같다.

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1. 라플라스 변환을 이용한 상미분방정식의 풀이 (Mechanism for Solving ODE with Laplace Transform)

2. 부분 분수 이론 (Partial Fraction Theory)

3. 라플라스 변환을 이용한 제차 2차 선형 상미분방정식의 풀이 (Solving Homogeneous 2nd ODE by Laplace Transform)

4. 라플라스 변환을 이용한 비제차 2차 선형 상미분방정식의 풀이 (Solving Nonhomogeneous 2nd ODE by Laplace Transform)

1차 ODE도 라플라스 변환을 이용해서 풀이할 수 있었습니다. 마찬가지로 2차 ODE도 라플라스 변환을 이용해서 풀이할 수 있습니다. 1차 ODE에서 미처 못한 얘기를 추가해서 이야기하도록 하겠습니다.

1. 라플라스 변환을 이용한 상미분방정식의 풀이 (Mechanism for Solving ODE with Laplace Transform)

1) 미정계수법, 역연산자법, 그리고 매개변수 변환법을 이용해서 2차 상미분방정식을 풀이할 수 있었습니다. 만약 라플라스 변환을 이용하면 적분이 아닌 대수적인 연산을 통해 미분방정식의 해를 구할 수 있습니다.

2) 2차 선형 ODE가 주어졌다고 생각해보겠습니다. 라플라스 변환과 도함수의 라플라스 변환 등을 이용하면 식을 정리할 수 있습니다.

이때 우리가 원하는 $y(t)$를 얻기 위해 $Y(s)$에 라플라스 역변환을 취해야 합니다. 하지만 현재 형태에서 바로 라플라스 역변환을 취하는 것에는 어려움이 있습니다. 그렇기 때문에 RHS에 있는 유리식들을 라플라스 역변환이 용이하도록 형태를 바꿔줘야 할 필요가 있습니다. 이를 위해서 유리식의 항등성에 생각해볼 필요가 있으며, 이를 부분 분수 이론(partial fraction theory)라고도 합니다.

2. 부분 분수 이론 (Partial Fraction Theory)

다음과 같은 유리함수(rational function)이 있다고 합시다.

$Q(x)$ 즉 분모의 형태에 따라서 식을 변환하는 방법이 달라집니다.

1) $Q(x)$가 서로 다른 실근을 갖는 1차식들의 곱일 때 (product of distinct linear factors)

2) $Q(x)$가 서로 반복되는 1차식들의 곱일 때 (product of repeated linear factors)

3) $Q(x)$가 허근을 갖는 2차 식을 포함하고 있을 때 (irreducible quadratic factors)

4) $Q(x)$가 허근을 갖는 2차 식을 갖고 있고 이 형태가 반복될 때

위의 원리들을 이용해서 라플라스 변환된 유리식을 역변환해서 원래의 형태를 얻어낼 수 있습니다. 많은 경험이 필요한 작업이지만, 변환-역변환 흔적을 찾고, 이를 찾도록 유리식을 변형하는 것이 중요합니다. 2차 상미분방정식을 풀이해보며 어떻게 접근해야 하는 지를 알아보겠습니다.

3. 라플라스 변환을 이용한 제차 2차 선형 상미분방정식의 풀이 (Solving Homogeneous 2nd ODE by Laplace Transform)

1) 제차 2차 상미분방정식의 라플라스 변환

제차 2차 상미분방정식에 라플라스 변환을 취해 대수방정식으로 바꾸어 보겠습니다.

$Y(s)$에 라플라스 역변환을 취할 때 오른쪽 유리식에도 똑같이 역변환을 취해야 할 것입니다. 분모의 $s^2+as+b$의 판별식의 부호에 따라 우리가 적용해야 할 부분 분수 이론이 달라집니다. 앞서 제차 상미분방정식을 풀이할 때 특성방정식의 판별식의 부호를 고려했습니다. 지금도 마찬가지로 분모에 위치한 $s$에 대한 2차 방정식의 판별식의 부호를 구분해야 합니다.

판별식 $D=a^2-4b$

2) 판별식의 부호를 고려한 라플라스 역변환 및 해 구하기

(1) $D>0$ Real, two distinct roots

$s^2+as+b$가 서로 다른 두개의 실근 $λ_1, λ_2$를 갖는다고 하면 아래와 같이 식을 정리할 수 있을 것입니다.

위의 결과에 라플라스 역변환을 취하면 우리가 원하는 해를 얻을 수 있습니다.

(2) $D<0$ Complex, two different roots

$s^2+as+b$가 서로 다른 두 허근을 갖습니다. 그렇기에 완전제곱식의 형태로 식을 변형해야 할 필요가 있습니다.

위와 같은 형태가 라플라스 변환-역변환에 들어오면 삼각함수나 쌍곡선함수를 사용하게 됩니다. 하지만 분모에서 차가 아닌 합으로 표현되어 있으므로 삼각함수의 라플라스 변환에 대해 먼저 생각해야 합니다. s축 이동정리를 이용해서 sin함수와 cos함수의 라플라스 변환에 대해 살펴보겠습니다.

이 관계를 이용하기 위해서 위에서 얻은 라플라스 변환된 다항식을 변형해야 합니다.

여기서 $A_1, A_2$는 결국 임의의 상수 이므로 항등관계에 의해서 $y(0), y’(0)$에 대해 표현될 것입니다. 짚고 넘어가야 할 점은 라플라스 변환의 흔적이 보일 때, 이를 이용하기 위해서 유리식을 변환할 수 있어야 한다는 것입니다. 마찬가지로 라플라스 역변환을 취해주면 우리가 원하던 미분방정식의 해를 얻을 수 있습니다.

(3) $D=0$ Double Roots

$s^2+as+b$가 완전제곱식 $(s+(a/2))^2$로 형태를 갖게 됩니다. 이를 이용해서 식을 변형할 수 있습니다.

s축 이동정리를 고려해서 라플라스 역변환을 취하면 원하던 해를 얻을 수 있습니다.

4. 라플라스 변환을 이용한 비제차 2차 선형 상미분방정식의 풀이 (Solving Nonhomogeneous 2nd ODE by Laplace Transform)

라플라스 변환을 이용해서 비제차 2차 선형 ODE는 어떻게 풀이하는지 그 과정을 살펴보도록 하겠습니다.

정리해보면, 제차 상미분방정식일 때의 유리함수와 특정해와 관련된 유리함수가 나오고, 이 유리식에 대해 라플라스 역변환을 취할 수 있어야 우리가 원하는 해를 얻을 수 있습니다. 이를 위해서는 라플라스 합성곱(convolution)을 이용해야 합니다.

라플라스 합성곱을 이용해서 $Y_p(t)$에 라플라스 역변환을 취하는 것을 살펴보겠습니다.

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프로베니우스 급수와 프로베니우스 방법 (Frobenius Series and Frobenius Method)

 어떠한 미분방정식은 갖고 있는 변수계수 때문에 특정 지점에 대해 해를 구하는 것은 어려울 수 있습니다. 특히 그 부분이 특이점(singular point)이라면 단순히 멱급수를 해로 가정하면 풀이할 수 없을 것입니다. 이 문제를 해결하기 위해 프로베니우스 급수(Frobenius Series)가 고안되었고, 이를 이용해서 미분방정식의 해를 구하는 것을 프로베니우스 방법(Frobenius Method)이라고 합니다.

프로베니우스 급수와 프로베니우스 방법 (Frobenius Series and Frobenius Method)

1) 프로베니우스 급수 (Frobenius Series)

미분방정식 $y’’+p(t)y’+q(t)y=0$이 있다고 해봅시다. 쉬운 설명을 위해서 $p(t), q(t)$에 대해 $t=0$이 singular, regular point라고 생각하겠습니다. 즉, $tp(t), t^2q(t)$는 $t=0$에서 해석적이며, 이는 급수로 나타낼 수 있는 상황에 대해서만 생각하겠음을 의미합니다.

주어진 미분방정식이 위의 조건들을 충족한다면 우리는 적어도 하나의 급수해(*)를 미분방정식의 해로 생각할 수 있으며, 이를 프로베니우스 급수(Frobenius Series)라고 합니다. 프로베니우스의 수학적 표현은 아래와 같습니다.

(*) 적어도 하나의 급수해를 얻는 다는 것은 때로는 2개의 선형독립인 해를 바로 얻을 수 없음을 의미합니다. 이는 추후에 논의할 결정방정식(indicial equation)의 해의 형태를 고려해야 할 필요가 있습니다.

2) 프로베니우스 방법 (Frobenius Method)

프로베니우스 급수를 이용해서 주어진 미분방정식의 해를 구하는 것을 프로베니우스 방법(Frobenius Method)라고 합니다. 이 방법을 사용하는 절차에 대해 얘기해보겠습니다. 우선 요약을 먼저 하고 각 단계를 어떻게 진행하는지 생각해보겠습니다.

Step 1 Trial Solution의 설정과 식의 정리 (Setting Trial Solution and rearranging equation)

Step 2 $r$의 결정과 해의 형태 판단 (Determinant of $r$ and the formula of the general solution)

각 단계를 살펴보겠습니다. 

Step 1 Trial Solution의 설정과 식의 정리 (Setting Trial Solution and rearranging equation)

다음과 같이 미분방정식이 주어졌다고 해보겠습니다.

이때 우리는 $y(t)$와 계수에 위치한 함수들을 급수로 설정합니다.

여기서 미분을 하더라도 index number에 변화가 없는 이유는 $r$때문입니다.

위의 항들을 주어진 미분방정식에 대입해서 식을 다시 작성할 수 있습니다.

Step 2 $r$의 결정과 해의 형태 판단 (Determinant of $r$ and the formula of the general solution)

위의 결과식을 $t^r$로 나누고 $a_n$에 대해 정리할 수 있습니다.

여기서 $a_0$은 반드시 0이 아니여야 합니다. 그렇기에 $a_0$의 계수에 위치한 다항식이 반드시 0이 되어야 합니다. 우리는 이를 결정방정식(indicial equation)이라고 정의합니다. 결정방정식은 $r$에 대한 2차식이므로 반드시 2개의 근을 갖습니다. 두 근의 형태에 따라 프로베니우스 급수로 두개의 독립인 해를 얻을 수 있는지, 아니면 단순히 하나의 해만 얻을 수 있는지 결정됩니다.

만약 프로베니우스 방법에 의해서 하나의 해만 얻었을 때에는 론스키안을 이용해서 또다른 독립해를 얻을 수 있습니다. 다만 그 방법이 복잡하기 때문에 기회가 있을 때 다루도록 하겠습니다.

프로베니우스 방법을 이용해서 해석할 수 있는 대표적인 미분방정식에는 베셀 방정식(Bessel Equaiton)이 있습니다. 이 방정식에 대해서도 다음에 다루어보겠습니다.

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르장드르 방정식(Legendre Equation)과 미분방정식의 풀이

멱급수를 이용해서 미분방정식의 해를 구하는 과정을 살펴보고자 합니다. 특이점을 갖지 않는 르장드르 방정식(Legendre Equation)을 이용해서 이해를 돕고자 합니다.

르장드르 방정식(Legendre Equation)과 미분방정식의 풀이

1) 르장드르 방정식(Legendre Equation)의 형태

르장드르 방정식의 형태는 다음과 같습니다.

만약 $t=1$또는 $t=-1$에서 해석을 하면 Singular point이기 때문에 계산 과정이 복잡하겠지만, 르장드르 방정식의 사용 범위는 특이점을 포함하지 않습니다. 이 사실을 이용해서 르장드르 방정식의 해를 찾도록 하겠습니다.

2) 멱급수를 이용한 상미분방정식의 풀이

특이점을 갖지 않는 상미분방정식의 해를 구하는 과정을 요약하면 다음과 같습니다.

​

Step 1 Trial Solution을 설정하고 이를 주어진 미분방정식에 대입해서 식을 정리한다.

Step 2 Index number $n$을 조정하여 미분방정식이 성립되기 위해 필요한 조건들을 찾는다.

Step 3 일반해를 찾는다.

이제 직접 식을 풀어보며 단계별로 구체적인 설명을 드리겠습니다.

Step 1 Trial Solution을 설정하고 이를 주어진 미분방정식에 대입해서 식을 정리한다.

$t=0$에서의 해를 구해보겠습니다. Trial Solution과 해의 미분형태를 얻을 수 있습니다.

급수에 대해 미분을 한 것이므로 index number $n$이 미분횟수만큼 증가한 것을 확인할 수 있습니다. 이들을 주어진 르장드르 방정식에 대입해서 식을 정리할 수 있습니다.

Step 2 Index number $n$을 조정하여 미분방정식이 성립되기 위해 필요한 조건들을 찾는다.

자명한 해 $t=0$이 아닌 다른 해를 얻는 것이 미분방정식 풀이의 목적입니다. 급수 기호에 포함된 일반항들(이하 피급수항)이 모두 0으로 표현된다면 급수도 0으로 나타나질 것입니다. $t$의 지수부분을 통일하면, 급수를 정리할 수 있습니다. 이를 위해서 급수의 index number $n$을 조정하는 것입니다. 보통 가장 높은 차수를 갖고 있는 $t$에 대한 지수로 통일을 합니다. 좀 더 살펴보겠습니다.

주어진 각 항들을 전개했을 때 $n=2$부터는 급수를 이용해서 간단하게 표현할 수 있음을 확인할 수 있습니다. 이를 위해서 index number을 조정해야 합니다. 여기서 가장 높은 $t$의 차수가 $n$이기 때문에 이에 맞추어 가장 첫번째 급수의 index number을 바꿔줘야 합니다.

수열의 합을 이용한 표현은 결국 무수한 합을 편리하게 표현하기 위해 사용된 것입니다. 그렇기에 올바르게 index number을 조정했다면 급수는 같아야 합니다. 위에서의 index number 조정은 $n-2$를 $n$으로 바꾼 것이기 때문에 나머지 n들도 모두 2씩 증가하도록 표현한 것입니다. ($n-2=k$라고 치환했다고 생각하면 이해하기가 더 편할 것입니다.) 조정된 급수를 이용해서 식을 정리하면 아래와 같습니다.

정리한 식이 임의의 $t$에 대해 성립하기 위해서는 $t$에 대한 계수가 0이면 됩니다. 이를 이용해서 미분방정식이 0이기 위한 조건들을 얻을 수 있습니다.

이때 $λ=m(m+1)$이라고 하고 식을 한 번 더 정리할 수 있습니다.

Step 3 일반해를 찾는다.

위에서 얻은 조건을 바탕으로 일반해를 표현할 수 있습니다. 우선 위에서 $a_2$는 $a_0$로부터 시작하고 $a_3$이 $a_1$으로부터 시작하기 때문에 우리는 홀수-홀수 짝수-짝수 관계인지를 생각해볼 수 있습니다. 그리고 주어진 조건에서 점화식이 $n - n+2$관계를 보입니다. 이는 $n$과 $n+2$가 모두 홀짝이 동일한 것을 의미합니다. 즉, $a_{2n-1}$은 $a_1$로부터 확장되고, $a_{2n}$은 $a_0$으로부터 확장되는 사실을 알 수 있습니다. 이를 생각하여 일반해를 표현할 수 있습니다.

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1. 멱급수와 멱급수의 성질 (Power Series and its Properties)

2. 해석지점의 구분 (Classification of Points)

3. Trial Solution의 설정 (Setting Trial Solution)

오일러 코시 방정식은 변수계수를 갖는 2차 ODE의 특수한 형태 중 하나입니다. 일반적인 미분방정식을 풀이할 때에는 급수(Series)를 이용할 수 있습니다. 급수의 성질에 대해 간단히 알아보고, 급수를 이용해서 상미분방정식을 풀이할 때 유의해야 하는 부분에 대해 설명하겠습니다.

1. 멱급수와 멱급수의 성질 (Power Series and its Properties)

1) 멱급수의 개념

급수를 다양한 맥락에서 들어볼 수 있었습니다. ODE의 풀이에서는 멱급수를 주로 사용합니다. 해석하고자 하는 부분에서의 근사다항식을 표현해주고, 이는 보다 편하고 직관적인 해석을 제공해줄 수 있기 때문입니다. 멱급수는 아래와 같이 표기합니다.

이는 $t_0$지점에서 $f(t)$를 확장한 것이고, 수렴반경(Range of Convergence, $R$) 내에서만 유효합니다.

2) 멱급수의 미분과 적분

멱급수는 결국 다항함수이기 때문에 미분과 적분을 쉽게 할 수 있습니다.

(1) 미분 (differential)

미분을 한번 진행함에 따라 급수가 시작하는 index number $n$이 1씩 증가하는 것을 유의해야 합니다.

(2) 적분 (integration)

적분은 미분과 다르게 $n$이 증가하지 않습니다.

(3) 비(율)판정법 (Cauchy Ratio Test)

미분과 적분을 수행하더라도 수렴반경은 변화하지 않지만, 수렴구간은 변화할 수 있습니다. 그래서 이를 확인하는 작업이 필요하고, 대표적으로 비(율)판정법(Cauchy Ratio Test)을 이용할 수 있습니다.

이때 경계지점 ($t-t_0=R$)은 특이점(critical point)이기 때문에 직접 조사를 할 필요가 있습니다.

대입 결과 생긴 무한급수의 수렴성을 조사해서 해상 경계지점에서 멱급수가 수렴인지 발산인지를 확인해서 구간을 구체화해야 한다.

2. 해석지점의 구분 (Classification of Points)

대부분의 멱급수는 기준점 $t_0$와 멀지 않은 $t$에서 해석됩니다. 그렇기에 해석자가 기준으로 삼으려는 지점에서 상미분방정식이 멱급수로 작성될 수 있는지에 대해 먼저 알아야 합니다. 미분방정식이 다음처럼 주어졌다고 하겠습니다.

1) 정상점 (Ordinary Point)

$t=t_0$에서 $p(t), q(t), r(t)$가 급수로 표현될 수 있으면(해석적이면), 이 지점을 정상점(ordinary point)라고 합니다.

2) 정칙특이점 (Singular, Regular Point)

$t=t_0$에서 $p(t), q(t), r(t)$가 무한히 발산해서 급수로 표현될 수 없을 때 우리는 $t=t_0$을 특이점(singularity)라고 합니다. 이를 해석적이게 만들기 위해서 $p, q$에 각각 $(t-t_0), (t-t_0)^2$를 곱해볼 수 있습니다. 만약 곱한 형태의 식이 수렴하여 급수로 표현될 수 있을 때 우리는 이 지점을 정칙특이점(singular regular point)이라고 합니다.

3) 비정칙특이점 (Singular, Nonregular Point)

어떤 특이점에서 $(t-t_0), (t-t_0)^2$를 곱함에도 불구하고 급수로 표현할 수 없다면 우리는 이 지점을 비정칙특이점(singular nonregular point)이라고 합니다.

3. Trial Solution의 설정 (Setting Trial Solution)

상수계수를 갖는 ODE를 풀이할 때처럼, 멱급수를 이용해서 미분방정식의 해를 표현할 때도 trial solution을 설정합니다. 그리고 이를 주어진 미분방정식에 대입해서 얻어진 관계를 통해 Trial solution을 결정합니다. 주어진 ODE와 해석지점의 특이성(singularity)을 고려해서 Trial Solution을 두어야 합니다. 해석지점이 $t_0=0$을 예로 들어 설명하겠습니다.

1) 비특이점(Nonsingular point)에서의 Trial Solution

비특이점에서 미분방정식의 해를 구할 때는 멱급수를 trial solution으로 설정하면 됩니다.

2) 특이점(Singular point)에서의 Trial Solution

특이점에서 미분방정식의 해를 구할 때에는 특이성을 안정화시킬 수 있도록 $t^r$을 곱한 형태를 trial solution으로 둡니다. 우리는 이를 프로베니우스 방법(Frobenius Method)이라고 하고, 추후에 어떻게 사용하는지 살펴볼 것입니다.